已知 (x+dfrac (1)(x))=dfrac (x+{x)^3}(1+{x)^4} ,求 f(x)

考查要点：本题主要考查函数表达式的求解，需要通过代数变形将给定表达式转化为关于新变量的函数形式。

解题核心思路：

1. 变量替换：令 $t = x + \dfrac{1}{x}$，将原式中的分子和分母进行变形，用 $t$ 表示。
2. 代数恒等式：利用 $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = \left( x + \dfrac{1}{x} \right)^2 - 2$ 进行化简。
3. 表达式替换：将变形后的分子和分母代入原式，最终得到关于 $t$ 的函数表达式。

破题关键点：

• 分子分母同除以 $x^2$，将原式转化为与 $x + \dfrac{1}{x}$ 相关的形式。
• 利用平方恒等式简化分母，建立与新变量 $t$ 的联系。

步骤1：分子分母同除以 $x^2$
原式为：
$f\left(x + \dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{x + x^3}{1 + x^4}$
将分子和分母同时除以 $x^2$，得：
$\dfrac{x + x^3}{1 + x^4} = \dfrac{\dfrac{1}{x} + x}{\dfrac{1}{x^2} + x^2}$

步骤2：化简分母
利用恒等式 $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = \left( x + \dfrac{1}{x} \right)^2 - 2$，分母可表示为：
$\dfrac{1}{x^2} + x^2 = \left( x + \dfrac{1}{x} \right)^2 - 2$

步骤3：变量替换
令 $t = x + \dfrac{1}{x}$，则原式变为：
$f(t) = \dfrac{t}{t^2 - 2}$
因此，函数 $f(x)$ 的表达式为：
$f(x) = \dfrac{x}{x^2 - 2}$