题目
Ob(本题8分)如图所示,一内半径为a、外半径为b的金属球壳,带有电荷Q,在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q.设无限远处为电势零点,试求:(1) 球壳内外表面上的电荷.(2) 球心O点处,由球壳内表面上电荷产生的电势.(3) 球心O点处的总电势.
(本题8分)如图所示,一内半径为a、外半径为b的金属球壳,带有电荷Q,在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q.设无限远处为电势零点,试求:
(1) 球壳内外表面上的电荷.
(2) 球心O点处,由球壳内表面上电荷产生的电势.
(3) 球心O点处的总电势.
题目解答
答案
解:(1) 由静电感应,金属球壳的内表面上有感生电荷-q,外表面上带电荷q+Q.2分
(2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的,因为任一电荷元离O点的距离都是a,所以由这些电荷在O点产生的电势为
2分
(3) 球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在O点产生的电势的代数和 2分
2分
解析
步骤 1：确定球壳内外表面上的电荷分布
根据静电感应原理，金属球壳的内表面上会感应出与点电荷q等量但符号相反的电荷，即-q。而球壳外表面的总电荷量为Q加上内表面感应出的电荷量，即q+Q。
步骤 2：计算球心O点处由球壳内表面上电荷产生的电势
球壳内表面上的电荷-q在球心O点产生的电势可以通过点电荷电势公式计算，即$U_{-q} = \frac{-q}{4\pi\epsilon_0 a}$，其中a是球壳内半径，$\epsilon_0$是真空介电常数。
步骤 3：计算球心O点处的总电势
球心O点处的总电势是点电荷q、球壳内表面电荷-q、球壳外表面电荷q+Q在O点产生的电势的代数和。点电荷q在O点产生的电势为$U_q = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r}$，球壳外表面电荷q+Q在O点产生的电势为$U_{Q+q} = \frac{Q+q}{4\pi\epsilon_0 b}$，其中r是点电荷q到球心的距离，b是球壳外半径。
根据静电感应原理，金属球壳的内表面上会感应出与点电荷q等量但符号相反的电荷，即-q。而球壳外表面的总电荷量为Q加上内表面感应出的电荷量，即q+Q。
步骤 2：计算球心O点处由球壳内表面上电荷产生的电势
球壳内表面上的电荷-q在球心O点产生的电势可以通过点电荷电势公式计算，即$U_{-q} = \frac{-q}{4\pi\epsilon_0 a}$，其中a是球壳内半径，$\epsilon_0$是真空介电常数。
步骤 3：计算球心O点处的总电势
球心O点处的总电势是点电荷q、球壳内表面电荷-q、球壳外表面电荷q+Q在O点产生的电势的代数和。点电荷q在O点产生的电势为$U_q = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r}$，球壳外表面电荷q+Q在O点产生的电势为$U_{Q+q} = \frac{Q+q}{4\pi\epsilon_0 b}$，其中r是点电荷q到球心的距离，b是球壳外半径。