12.设随机变量X的密度函数为-|||-p(x)= ) 1-|x|,-1leqslant xleqslant 1 0, .-|||-试求X的分布函数.

步骤 1：确定分布函数的定义
分布函数 $F(x)$ 定义为随机变量 $X$ 小于等于 $x$ 的概率，即 $F(x) = P(X \leq x)$。对于连续型随机变量，分布函数可以通过密度函数 $p(x)$ 的积分来计算，即 $F(x) = \int_{-\infty}^{x} p(t) dt$。

步骤 2：根据密度函数的定义分段计算分布函数
根据题目中给出的密度函数 $p(x)$，我们可以将其分为四段来计算分布函数 $F(x)$：
- 当 $x < -1$ 时，$p(x) = 0$，因此 $F(x) = \int_{-\infty}^{x} 0 dt = 0$。
- 当 $-1 \leq x < 0$ 时，$p(x) = 1 + x$，因此 $F(x) = \int_{-\infty}^{x} p(t) dt = \int_{-1}^{x} (1 + t) dt$。
- 当 $0 \leq x < 1$ 时，$p(x) = 1 - x$，因此 $F(x) = \int_{-\infty}^{x} p(t) dt = \int_{-1}^{0} (1 + t) dt + \int_{0}^{x} (1 - t) dt$。
- 当 $x \geq 1$ 时，$p(x) = 0$，因此 $F(x) = \int_{-\infty}^{x} p(t) dt = 1$。

步骤 3：计算各段的分布函数
- 当 $x < -1$ 时，$F(x) = 0$。
- 当 $-1 \leq x < 0$ 时，$F(x) = \int_{-1}^{x} (1 + t) dt = \left[ t + \frac{t^2}{2} \right]_{-1}^{x} = x + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}$。
- 当 $0 \leq x < 1$ 时，$F(x) = \int_{-1}^{0} (1 + t) dt + \int_{0}^{x} (1 - t) dt = \left[ t + \frac{t^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ t - \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{x} = \frac{1}{2} + x - \frac{x^2}{2}$。
- 当 $x \geq 1$ 时，$F(x) = 1$。