题目
设 n_A 是 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，则对任意 varepsilon > 0，有A. lim_(n to infty) P | (n_A)/(n) - p | geq varepsilon = 1B. lim_(n to infty) P | (n_A)/(n) - p | leq varepsilon > 1C. lim_(n to infty) P | (n_A)/(n) - p | D. lim_(n to infty) P | (n_A)/(n) - p |
设 $n_A$ 是 $n$ 重伯努利试验中事件 $A$ 发生的次数，$p$ 是事件 $A$ 在每次试验中发生的概率，则对任意 $\varepsilon > 0$，有
A. $\lim_{n \to \infty} P \left\{ \left| \frac{n_A}{n} - p \right| \geq \varepsilon \right\} = 1$
B. $\lim_{n \to \infty} P \left\{ \left| \frac{n_A}{n} - p \right| \leq \varepsilon \right\} > 1$
C. $\lim_{n \to \infty} P \left\{ \left| \frac{n_A}{n} - p \right| < \varepsilon \right\} = 1$
D. $\lim_{n \to \infty} P \left\{ \left| \frac{n_A}{n} - p \right| < \varepsilon \right\} = 0$
题目解答
答案
C. $\lim_{n \to \infty} P \left\{ \left| \frac{n_A}{n} - p \right| < \varepsilon \right\} = 1$
解析
步骤 1：理解大数定律
大数定律是概率论中的一个基本定理，它表明在大量重复试验中，事件发生的频率将趋于稳定，接近于事件发生的概率。具体到本题，当试验次数 $n$ 趋于无穷大时，事件 $A$ 发生的相对频率 $\frac{n_A}{n}$ 依概率收敛到其概率 $p$。
步骤 2：分析选项
根据大数定律，对于任意 $\varepsilon > 0$，当 $n$ 趋于无穷大时，事件 $A$ 发生的相对频率 $\frac{n_A}{n}$ 与 $p$ 的差的绝对值小于 $\varepsilon$ 的概率趋于 1，即 \[ \lim_{n \to \infty} P\left\{ \left| \frac{n_A}{n} - p \right| < \varepsilon \right\} = 1 \] 这意味着选项 C 是正确的。
步骤 3：排除其他选项
选项 A 表示当 $n$ 趋于无穷大时，事件 $A$ 发生的相对频率 $\frac{n_A}{n}$ 与 $p$ 的差的绝对值大于等于 $\varepsilon$ 的概率趋于 1，这与大数定律的结论相矛盾。选项 B 表示当 $n$ 趋于无穷大时，事件 $A$ 发生的相对频率 $\frac{n_A}{n}$ 与 $p$ 的差的绝对值小于等于 $\varepsilon$ 的概率大于 1，这是不可能的，因为概率的取值范围是 [0, 1]。选项 D 表示当 $n$ 趋于无穷大时，事件 $A$ 发生的相对频率 $\frac{n_A}{n}$ 与 $p$ 的差的绝对值小于 $\varepsilon$ 的概率趋于 0，这与大数定律的结论相矛盾。
大数定律是概率论中的一个基本定理，它表明在大量重复试验中，事件发生的频率将趋于稳定，接近于事件发生的概率。具体到本题，当试验次数 $n$ 趋于无穷大时，事件 $A$ 发生的相对频率 $\frac{n_A}{n}$ 依概率收敛到其概率 $p$。
步骤 2：分析选项
根据大数定律，对于任意 $\varepsilon > 0$，当 $n$ 趋于无穷大时，事件 $A$ 发生的相对频率 $\frac{n_A}{n}$ 与 $p$ 的差的绝对值小于 $\varepsilon$ 的概率趋于 1，即 \[ \lim_{n \to \infty} P\left\{ \left| \frac{n_A}{n} - p \right| < \varepsilon \right\} = 1 \] 这意味着选项 C 是正确的。
步骤 3：排除其他选项
选项 A 表示当 $n$ 趋于无穷大时，事件 $A$ 发生的相对频率 $\frac{n_A}{n}$ 与 $p$ 的差的绝对值大于等于 $\varepsilon$ 的概率趋于 1，这与大数定律的结论相矛盾。选项 B 表示当 $n$ 趋于无穷大时，事件 $A$ 发生的相对频率 $\frac{n_A}{n}$ 与 $p$ 的差的绝对值小于等于 $\varepsilon$ 的概率大于 1，这是不可能的，因为概率的取值范围是 [0, 1]。选项 D 表示当 $n$ 趋于无穷大时，事件 $A$ 发生的相对频率 $\frac{n_A}{n}$ 与 $p$ 的差的绝对值小于 $\varepsilon$ 的概率趋于 0，这与大数定律的结论相矛盾。