题目

23.[判断题]当被积函数中含有根式 sqrt(2x^2)-3 时，令 x=(sqrt(6))/(2)sec t，则可以去掉被积函数中的 sqrt(2x^2)-3.A 对B 错

23.[判断题] 当被积函数中含有根式 $\sqrt{2x^{2}-3}$ 时，令 $x=\frac{\sqrt{6}}{2}\sec t$，则可以去掉被 积函数中的 $\sqrt{2x^{2}-3}$. A 对 B 错

题目解答

答案

为了判断当被积函数中含有根式 $\sqrt{2x^2 - 3}$ 时，令 $x = \frac{\sqrt{6}}{2} \sec t$ 是否可以去掉被积函数中的 $\sqrt{2x^2 - 3}$，我们首先进行代换并化简。 1. 令 $x = \frac{\sqrt{6}}{2} \sec t$。则 $x^2 = \left(\frac{\sqrt{6}}{2} \sec t\right)^2 = \frac{6}{4} \sec^2 t = \frac{3}{2} \sec^2 t$。 2. 将 $x^2$ 代入根式 $\sqrt{2x^2 - 3}$ 中，得到： \[ \sqrt{2x^2 - 3} = \sqrt{2 \left(\frac{3}{2} \sec^2 t\right) - 3} = \sqrt{3 \sec^2 t - 3} = \sqrt{3 (\sec^2 t - 1)} = \sqrt{3 \tan^2 t} = \sqrt{3} |\tan t| = \sqrt{3} \tan t \quad (\text{假设} \tan t \geq 0). \] 这样，根式 $\sqrt{2x^2 - 3}$ 就被化简为 $\sqrt{3} \tan t$，从而去掉了根号。 因此，令 $x = \frac{\sqrt{6}}{2} \sec t$ 可以去掉被积函数中的 $\sqrt{2x^2 - 3}$。 答案是 $\boxed{A}$。

解析

本题考查三角代换法在积分中的应用，核心在于判断代换是否能消除根式 $\sqrt{2x^2 - 3}$。关键思路是将根式转化为三角函数表达式，利用恒等式 $\sec^2 t - 1 = \tan^2 t$ 简化运算。破题关键是正确选择代换形式，使根式中的二次项匹配三角恒等式。

  1. 代换形式分析
    根式 $\sqrt{2x^2 - 3}$ 可变形为 $\sqrt{2\left(x^2 - \frac{3}{2}\right)}$。此时需消去形如 $\sqrt{x^2 - a^2}$ 的结构，标准三角代换为 $x = a \sec t$，其中 $a = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$，因此代换形式为 $x = \frac{\sqrt{6}}{2} \sec t$。

  2. 代入化简

    • 代入 $x = \frac{\sqrt{6}}{2} \sec t$，得 $x^2 = \frac{3}{2} \sec^2 t$。
    • 代入根式：
      $\sqrt{2x^2 - 3} = \sqrt{2 \cdot \frac{3}{2} \sec^2 t - 3} = \sqrt{3 \sec^2 t - 3} = \sqrt{3 (\sec^2 t - 1)} = \sqrt{3 \tan^2 t} = \sqrt{3} |\tan t|$
    • 假设 $\tan t \geq 0$，则根式简化为 $\sqrt{3} \tan t$，成功去掉根号。