题目

设函数 f(x)=x3+ax2+bx 在 x=1 处有极小值 −2 ，则必有 () A. a=−4 ， b=1 B. a=4 ， b=−7 C. a=0 ， b=−3 D. a=b=1

设函数 f(x)=x3+ax2+bx 在 x=1 处有极小值 −2 ，则必有 ()

A. a=−4 ， b=1
B. a=4 ， b=−7
C. a=0 ， b=−3
D. a=b=1

题目解答

答案

因为函数 f(x)=x3+ax2+bx 在 x=1 处有极小值 −2 ，

所以 f′(x)=3x2+2ax+b ，

f′(1)=3×1+2a+b=0 ，

f(1)=1+a+b=−2 ，

解得 a=0 ， b=−3.

故选：C.

解析

步骤 1：求导数
首先，对函数 f(x)=x3+ax2+bx 求导，得到 f′(x)=3x2+2ax+b。
步骤 2：利用极值条件
由于函数在 x=1 处有极小值，因此 f′(1)=0，即 3×12+2a×1+b=0，化简得 3+2a+b=0。
步骤 3：利用极小值条件
由于函数在 x=1 处的极小值为 -2，因此 f(1)=-2，即 13+a×12+b×1=-2，化简得 1+a+b=-2。
步骤 4：解方程组
联立步骤 2 和步骤 3 的方程，得到方程组：
3+2a+b=0
1+a+b=-2
解这个方程组，得到 a=0，b=-3。