题目

lim _(n arrow infty)(1-(1)/(2^2))(1-(1)/(3^2)) ...(1-(1)/(n^2))= ____

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=$ ____

题目解答

答案

我们要求极限：

$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right)\cdots\left(1 - \frac{1}{n^2}\right)$

也就是：

$\lim_{n \to \infty} \prod_{k=2}^n \left(1 - \frac{1}{k^2}\right)$

第一步：化简每一项

我们注意到：

$1 - \frac{1}{k^2} = \frac{k^2 - 1}{k^2} = \frac{(k - 1)(k + 1)}{k^2}$

所以乘积可以写成：

$\prod_{k=2}^n \left(1 - \frac{1}{k^2}\right) = \prod_{k=2}^n \frac{(k - 1)(k + 1)}{k^2} = \prod_{k=2}^n \frac{(k - 1)}{k} \cdot \frac{(k + 1)}{k}$

拆开为两个部分：

$= \left( \prod_{k=2}^n \frac{k - 1}{k} \right) \cdot \left( \prod_{k=2}^n \frac{k + 1}{k} \right)$

我们分别计算这两个乘积。

第二步：计算第一个乘积 $\prod_{k=2}^n \frac{k - 1}{k}$

写出前几项观察：

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \cdots \cdot \frac{n-1}{n}$

这是一个望远镜积，中间项会约掉：

$\frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdot \cdots \cdot \frac{\cancel{n-1}}{n} = \frac{1}{n}$

所以：

$\prod_{k=2}^n \frac{k - 1}{k} = \frac{1}{n}$

第三步：计算第二个乘积 $\prod_{k=2}^n \frac{k + 1}{k}$

写出前几项：

$\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot \cdots \cdot \frac{n+1}{n}$

同样是一个望远镜积：

$\frac{\cancel{3}}{2} \cdot \frac{\cancel{4}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{5}}{\cancel{4}} \cdot \cdots \cdot \frac{n+1}{\cancel{n}} = \frac{n+1}{2}$

因为除了分母的 2 和最后一个分子 $n+1$，其他都约掉了。

所以：

$\prod_{k=2}^n \frac{k + 1}{k} = \frac{n+1}{2}$

第四步：将两部分相乘

原乘积为：

$\left( \frac{1}{n} \right) \cdot \left( \frac{n+1}{2} \right) = \frac{n+1}{2n}$

第五步：取极限 $n \to \infty$

$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} \right) = \frac{1}{2}$

最终答案：

$\boxed{\frac{1}{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查无穷乘积的求解方法，特别是利用望远镜积（Telescoping Product）的技巧进行化简。

解题核心思路：

  1. 因式分解：将每一项 $1 - \frac{1}{k^2}$ 分解为 $\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}$，从而将乘积转化为两个分数的乘积形式。
  2. 拆分乘积：将原乘积分解为两个独立的乘积，分别计算后再相乘。
  3. 望远镜积化简：通过观察分子分母的抵消规律，快速化简两个乘积的结果。
  4. 取极限：对化简后的表达式取极限，得到最终结果。

破题关键点：

  • 分解因式是关键的第一步，将复杂的乘积转化为可约简的形式。
  • 望远镜积的识别与化简是解题的核心步骤，需注意分子分母的抵消规律。

步骤1：因式分解
将每一项 $1 - \frac{1}{k^2}$ 分解为：
$1 - \frac{1}{k^2} = \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}$
因此，原乘积可写为：
$\prod_{k=2}^n \frac{(k-1)(k+1)}{k^2} = \left( \prod_{k=2}^n \frac{k-1}{k} \right) \cdot \left( \prod_{k=2}^n \frac{k+1}{k} \right)$

步骤2：计算第一个乘积 $\prod_{k=2}^n \frac{k-1}{k}$
展开前几项：
$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \cdots \cdot \frac{n-1}{n}$
分子分母逐项抵消后，结果为：
$\frac{1}{n}$

步骤3：计算第二个乘积 $\prod_{k=2}^n \frac{k+1}{k}$
展开前几项：
$\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot \cdots \cdot \frac{n+1}{n}$
分子分母逐项抵消后，结果为：
$\frac{n+1}{2}$

步骤4：合并结果
将两部分相乘：
$\frac{1}{n} \cdot \frac{n+1}{2} = \frac{n+1}{2n}$

步骤5：取极限
当 $n \to \infty$ 时：
$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} \right) = \frac{1}{2}$