题目
lim _(xarrow infty )dfrac (sin x)(x)=1不存在。（ ） A、正确 B、错误
不存在。（ ）
A、正确
B、错误
题目解答
答案
本题答案选
当
时，
是一个有界函数，且
；
当时，
是无穷小，即
，
再根据定理：无穷小与有界函数的乘积是无穷小，
可知
，
故本题答案选
解析
步骤 1：分析函数 $\sin x$ 的性质
$\sin x$ 是一个有界函数，其值域为 $[-1, 1]$，即对于所有的 $x$，都有 $-1 \leq \sin x \leq 1$。
步骤 2：分析函数 $\frac{1}{x}$ 的性质
当 $x \rightarrow \infty$ 时，$\frac{1}{x}$ 趋向于 $0$，即 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1}{x}=0$。
步骤 3：应用无穷小与有界函数的乘积性质
根据数学分析中的定理，无穷小与有界函数的乘积是无穷小。因此，当 $x \rightarrow \infty$ 时，$\frac{\sin x}{x}$ 也趋向于 $0$，即 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\sin x}{x}=0$。
步骤 4：判断题目中的结论是否正确
题目中给出的结论是 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\sin x}{x}=1$ 不存在，根据上述分析，实际上 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\sin x}{x}=0$，因此题目中的结论是正确的。
$\sin x$ 是一个有界函数，其值域为 $[-1, 1]$，即对于所有的 $x$，都有 $-1 \leq \sin x \leq 1$。
步骤 2：分析函数 $\frac{1}{x}$ 的性质
当 $x \rightarrow \infty$ 时，$\frac{1}{x}$ 趋向于 $0$，即 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1}{x}=0$。
步骤 3：应用无穷小与有界函数的乘积性质
根据数学分析中的定理，无穷小与有界函数的乘积是无穷小。因此，当 $x \rightarrow \infty$ 时，$\frac{\sin x}{x}$ 也趋向于 $0$，即 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\sin x}{x}=0$。
步骤 4：判断题目中的结论是否正确
题目中给出的结论是 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\sin x}{x}=1$ 不存在，根据上述分析，实际上 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\sin x}{x}=0$，因此题目中的结论是正确的。