题目
3. 设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E,则BCA=E。 ( )
3. 设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E,则BCA=E。 ( )
题目解答
答案
正确
解析
步骤 1：理解矩阵乘法的性质
矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。但是，矩阵乘法满足结合律，即(AB)C = A(BC)。
步骤 2：利用已知条件
已知ABC=E，其中E是单位矩阵。这意味着A、B、C的乘积是单位矩阵。
步骤 3：推导BCA=E
由于ABC=E，我们可以将E看作是单位矩阵，即E乘以任何矩阵等于该矩阵本身。因此，我们可以将E写成E=BCA的形式。为了证明BCA=E，我们需要证明BCA乘以A的逆矩阵等于E。由于ABC=E，我们可以得出A的逆矩阵是BC。因此，BCA乘以A的逆矩阵等于BCA乘以BC，即(BCA)(BC)。根据矩阵乘法的结合律，我们可以将这个表达式写成B(CA)B，再根据已知条件ABC=E，可以得出B(CA)B=BEB=BE=B。因此，BCA乘以A的逆矩阵等于E，即BCA=E。
矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。但是，矩阵乘法满足结合律，即(AB)C = A(BC)。
步骤 2：利用已知条件
已知ABC=E，其中E是单位矩阵。这意味着A、B、C的乘积是单位矩阵。
步骤 3：推导BCA=E
由于ABC=E，我们可以将E看作是单位矩阵，即E乘以任何矩阵等于该矩阵本身。因此，我们可以将E写成E=BCA的形式。为了证明BCA=E，我们需要证明BCA乘以A的逆矩阵等于E。由于ABC=E，我们可以得出A的逆矩阵是BC。因此，BCA乘以A的逆矩阵等于BCA乘以BC，即(BCA)(BC)。根据矩阵乘法的结合律，我们可以将这个表达式写成B(CA)B，再根据已知条件ABC=E，可以得出B(CA)B=BEB=BE=B。因此，BCA乘以A的逆矩阵等于E，即BCA=E。