题目
3、设A与B均为n阶方阵,则下列结论中正确的是 ()-|||-A.若 |AB|=0 ,则 =0 或 =0 = B.若 neq 0 ,则 |A|neq 0 或 |B|neq 0 =-|||-C.若 |AB|=0 ,则 |A|=0 或 |B|=0 = D.若 =0 ,则 =0 或 =0 。
题目解答
答案
C. 若 |AB|=0 ,则 |A|=0 或 |B|=0 =
解析
步骤 1：理解方阵行列式的性质
方阵行列式的性质之一是：如果两个方阵A和B的乘积AB的行列式为0，即|AB|=0，那么至少有一个方阵的行列式为0，即|A|=0或|B|=0。这是因为行列式的乘法性质：|AB|=|A||B|。如果|AB|=0，那么|A||B|=0，这意味着|A|=0或|B|=0。
步骤 2：分析选项A
选项A：若|AB|=0，则A=0或B=0。这个选项是错误的，因为|AB|=0只意味着|A|=0或|B|=0，而不是A=0或B=0。矩阵A和B可以是非零矩阵，但它们的行列式可以为0。
步骤 3：分析选项B
选项B：若AB≠0，则|A|≠0或|B|≠0。这个选项是错误的，因为AB≠0只意味着A和B都不是零矩阵，但它们的行列式可以为0。例如，A和B可以是奇异矩阵（行列式为0的矩阵），但它们的乘积AB可以是非零矩阵。
步骤 4：分析选项C
选项C：若|AB|=0，则|A|=0或|B|=0。这个选项是正确的，因为根据行列式的乘法性质，如果|AB|=0，那么|A||B|=0，这意味着|A|=0或|B|=0。
步骤 5：分析选项D
选项D：若AB=0，则A=0或B=0。这个选项是错误的，因为AB=0只意味着A和B的乘积为零矩阵，但它们可以是非零矩阵。例如，A和B可以是零矩阵的非零矩阵，但它们的乘积AB可以是零矩阵。
方阵行列式的性质之一是：如果两个方阵A和B的乘积AB的行列式为0，即|AB|=0，那么至少有一个方阵的行列式为0，即|A|=0或|B|=0。这是因为行列式的乘法性质：|AB|=|A||B|。如果|AB|=0，那么|A||B|=0，这意味着|A|=0或|B|=0。
步骤 2：分析选项A
选项A：若|AB|=0，则A=0或B=0。这个选项是错误的，因为|AB|=0只意味着|A|=0或|B|=0，而不是A=0或B=0。矩阵A和B可以是非零矩阵，但它们的行列式可以为0。
步骤 3：分析选项B
选项B：若AB≠0，则|A|≠0或|B|≠0。这个选项是错误的，因为AB≠0只意味着A和B都不是零矩阵，但它们的行列式可以为0。例如，A和B可以是奇异矩阵（行列式为0的矩阵），但它们的乘积AB可以是非零矩阵。
步骤 4：分析选项C
选项C：若|AB|=0，则|A|=0或|B|=0。这个选项是正确的，因为根据行列式的乘法性质，如果|AB|=0，那么|A||B|=0，这意味着|A|=0或|B|=0。
步骤 5：分析选项D
选项D：若AB=0，则A=0或B=0。这个选项是错误的，因为AB=0只意味着A和B的乘积为零矩阵，但它们可以是非零矩阵。例如，A和B可以是零矩阵的非零矩阵，但它们的乘积AB可以是零矩阵。