设r(A)=r,则A 至少有一个r-1阶子式不为零。( )

考查要点：本题主要考查矩阵秩的定义及其与子式的关系。

解题核心思路：根据矩阵秩的定义，秩为$r$的矩阵$A$满足：

1. 存在至少一个$r$阶子式不为零；
2. 所有$r+1$阶及以上子式均为零。

题目要求判断：当$r(A)=r$时，$A$是否至少有一个$r-1$阶子式不为零。关键在于理解秩的定义隐含的递推关系，即高阶子式非零必然导致低阶子式中存在非零元素。

破题关键点：

• 若矩阵秩为$r$，则至少存在一个$r$阶子式非零，而该子式的任意一个$r-1$阶子式（如去掉一行一列后的子式）可能为零或非零，但矩阵整体中必然存在其他$r-1$阶子式非零（否则秩无法达到$r$）。
• 通过反证法：若所有$r-1$阶子式均为零，则矩阵秩应不超过$r-2$，与已知矛盾。

步骤1：理解秩的定义
矩阵$A$的秩$r(A)=r$，说明：

• 存在至少一个$r$阶子式$D \neq 0$；
• 所有$r+1$阶及以上子式均为零。

步骤2：分析$r-1$阶子式
假设所有$r-1$阶子式均为零，则：

• 矩阵中无法找到任何$r-1$阶非零子式；
• 根据秩的定义，此时矩阵的秩应不超过$r-2$，与已知$r(A)=r$矛盾。

步骤3：结论推导
矛盾说明假设不成立，因此至少存在一个$r-1$阶子式不为零。