题目

10把钥匙有3把能把门锁打开，今从中任取两把，求能打开门的概率____.

题目解答

我们来一步一步地分析并解答这个概率问题。

题目回顾：

有10把钥匙，其中3把能打开门锁，其余7把不能。
现在从中任意取出两把钥匙，问：能打开门锁的概率是多少？

注意：只要其中至少有一把是能打开门的钥匙，就可以打开门。

第一步：明确事件

我们要求的是：取出的两把钥匙中，至少有一把是能打开门的钥匙的概率。

设事件 $ A $：取出的两把钥匙中至少有一把能打开门。

我们可以用对立事件来求解，会更简单。

对立事件 $ \bar{A} $：取出的两把钥匙都不能打开门。

那么：
$P(A) = 1 - P(\bar{A})$

第二步：计算总的取法数

从10把钥匙中任取2把，总的组合数为：
$C(10, 2) = \frac{10 \times 9}{2} = 45$

第三步：计算对立事件的取法数

不能打开门的钥匙有 $ 10 - 3 = 7 $ 把。

从这7把“打不开门”的钥匙中任取2把，组合数为：
$C(7, 2) = \frac{7 \times 6}{2} = 21$

所以，两把都打不开门的概率为：
$P(\bar{A}) = \frac{21}{45}$

第四步：计算所求概率

$P(A) = 1 - \frac{21}{45} = \frac{45 - 21}{45} = \frac{24}{45}$

约分：分子分母同除以3，
$\frac{24}{45} = \frac{8}{15}$

答案：

$\boxed{\frac{8}{15}}$

答：能打开门的概率是 $ \frac{8}{15} $。

本题考查古典概型概率的计算，解题思路是先明确所求事件，再通过计算其对立事件的概率，利用对立事件概率之和为$1$来求解所求事件的概率。

明确事件：
设事件$A$为“取出的两把钥匙中至少有一把能打开门”，其对立事件$\overline{A}$为“取出的两把钥匙都不能打开门”。根据对立事件概率的性质可知$P(A)=1 - P(\overline{A})$。
计算总的取法数：
从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数记为$C_{n}^m$，其计算公式为$C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n - m)!}$。从$10$把钥匙中任取$2$把，即$n = 10$，$m = 2$，则总的组合数为：
$C_{10}^2=\frac{10!}{2!(10 - 2)!}=\frac{10\times9\times8!}{2\times1\times8!}=\frac{10\times9}{2}=45$
计算对立事件的取法数：
已知不能打开门的钥匙有$10 - 3 = 7$把，从这$7$把“打不开门”的钥匙中任取$2$把，即$n = 7$，$m = 2$，则组合数为：
$C_{7}^2=\frac{7!}{2!(7 - 2)!}=\frac{7\times6\times5!}{2\times1\times5!}=\frac{7\times6}{2}=21$
根据古典概型概率公式$P=\frac{事件包含的基本事件数}{试验的基本事件总数}$，可得两把都打不开门的概率为：
$P(\overline{A})=\frac{C_{7}^2}{C_{10}^2}=\frac{21}{45}$
计算所求概率：
将$P(\overline{A})=\frac{21}{45}$代入$P(A)=1 - P(\overline{A})$可得：
$P(A)=1-\frac{21}{45}=\frac{45 - 21}{45}=\frac{24}{45}$
对$\frac{24}{45}$进行约分，分子分母同时除以$3$，可得$\frac{24}{45}=\frac{8}{15}$。