题目
4.设随机变量X的概率密度为 f(x)= ) Ax,0lt xlt 2 0, . 则常数 A= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定概率密度函数的性质
概率密度函数$f(x)$的性质之一是其在整个定义域上的积分等于1，即${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$。对于给定的$f(x)$，它在$x<0$和$x>2$时为0，因此只需考虑$0
步骤 2：计算积分
根据$f(x)$的定义，我们有${\int }_{0}^{2}Ax\,dx$。计算这个积分，我们得到：
\[
{\int }_{0}^{2}Ax\,dx = A\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2} = A\left(\frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2}\right) = A\left(\frac{4}{2}\right) = 2A
\]
步骤 3：应用概率密度函数的性质
根据概率密度函数的性质，我们有$2A=1$。解这个方程，我们得到$A=\frac{1}{2}$。
概率密度函数$f(x)$的性质之一是其在整个定义域上的积分等于1，即${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$。对于给定的$f(x)$，它在$x<0$和$x>2$时为0，因此只需考虑$0
步骤 2：计算积分
根据$f(x)$的定义，我们有${\int }_{0}^{2}Ax\,dx$。计算这个积分，我们得到：
\[
{\int }_{0}^{2}Ax\,dx = A\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2} = A\left(\frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2}\right) = A\left(\frac{4}{2}\right) = 2A
\]
步骤 3：应用概率密度函数的性质
根据概率密度函数的性质，我们有$2A=1$。解这个方程，我们得到$A=\frac{1}{2}$。