题目
证明(cosx)'=-sinx.
证明(cosx)'=-sinx.
题目解答
答案
根据导数的定义，(cosx)'=
，将
展开得，
=
+
.
当
时，有等价无穷小替换，
=1，
=
.
所以+=
+
=-sinx.
解析
步骤 1：应用导数定义
根据导数的定义，函数$f(x)$在$x$处的导数$f'(x)$可以表示为：
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$
对于$f(x) = \cos x$，我们有：
$$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x}$$
步骤 2：使用三角恒等式
利用三角函数的和差化积公式，$\cos(x + \Delta x) - \cos x$可以写为：
$$\cos(x + \Delta x) - \cos x = -2\sin\left(\frac{x + \Delta x + x}{2}\right)\sin\left(\frac{x + \Delta x - x}{2}\right)$$
简化后得到：
$$\cos(x + \Delta x) - \cos x = -2\sin\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right)\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)$$
步骤 3：代入导数定义并简化
将上式代入导数定义中，得到：
$$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2\sin\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right)\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\Delta x}$$
进一步简化为：
$$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \left[-\sin\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right) \cdot \frac{\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}}\right]$$
步骤 4：应用极限性质
当$\Delta x \to 0$时，$\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right) \approx \frac{\Delta x}{2}$，因此：
$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}} = 1$$
所以：
$$(\cos x)' = -\sin\left(x + \frac{0}{2}\right) \cdot 1 = -\sin x$$
根据导数的定义，函数$f(x)$在$x$处的导数$f'(x)$可以表示为：
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$
对于$f(x) = \cos x$，我们有：
$$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x}$$
步骤 2：使用三角恒等式
利用三角函数的和差化积公式，$\cos(x + \Delta x) - \cos x$可以写为：
$$\cos(x + \Delta x) - \cos x = -2\sin\left(\frac{x + \Delta x + x}{2}\right)\sin\left(\frac{x + \Delta x - x}{2}\right)$$
简化后得到：
$$\cos(x + \Delta x) - \cos x = -2\sin\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right)\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)$$
步骤 3：代入导数定义并简化
将上式代入导数定义中，得到：
$$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2\sin\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right)\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\Delta x}$$
进一步简化为：
$$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \left[-\sin\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right) \cdot \frac{\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}}\right]$$
步骤 4：应用极限性质
当$\Delta x \to 0$时，$\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right) \approx \frac{\Delta x}{2}$，因此：
$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}} = 1$$
所以：
$$(\cos x)' = -\sin\left(x + \frac{0}{2}\right) \cdot 1 = -\sin x$$