题目

行列式2 -3 1 -1-|||--1 5 7 underline (1)-|||-2 2 2 -1-|||-0 1 -1 1________.

行列式 $D=\left | {\begin{matrix}2 &-3 &1&-1 \newline-1 &5 & 7&1\newline2 & 2 &2&-1\newline0 &1&-1&1 \end{matrix}} \right |=$ ________.

题目解答

答案

解：由题意得，行列式 $D=\left | {\begin{matrix}2 &-3 &1&-1 \newline-1 &5 & 7&1\newline2 & 2 &2&-1\newline0 &1&-1&1 \end{matrix}} \right |\xlongequal[]{c_{3}+c_{2}}\left | {\begin{matrix}2 &-2 &1&-1 \newline-1 &12 & 7&1\newline2 & 4&2&-1\newline0 &0&-1&1 \end{matrix}} \right |$

$\xlongequal[]{c_{3}+c_{4}}\left | {\begin{matrix}2 &-2 &1&0 \newline-1 &12 & 7&8\newline2 & 4&2&1\newline0 &0&-1&0 \end{matrix}} \right |$ ，

根据行列式展开定理，按行列式最后一行展开，得

$\left | {\begin{matrix}2 &-2 &1&0 \newline-1 &12 & 7&8\newline2 & 4&2&1\newline0 &0&-1&0 \end{matrix}} \right |=-1\times（-1）^{4+3}\left | {\begin{matrix}2 &-2 &0 \newline-1 &12 &8\newline2 & 4&1 \end{matrix}} \right |$

$\xlongequal[]{c_{1}+c_{2}}\left | {\begin{matrix}2 & 0&0\newline-1 &11 &8 \newline2 &6 &1 \end{matrix}} \right |$

再按第一行展开得， $\left | {\begin{matrix}2 & 0&0\newline-1 &11 &8 \newline2 &6 &1 \end{matrix}} \right |=2\left | {\begin{matrix}11 & 8\newline6 &1 \end{matrix}} \right |$

$=2\times\left(11-6\times8\right)=-74$

∴得行列式 $D=\left | {\begin{matrix}2 &-3 &1&-1 \newline-1 &5 & 7&1\newline2 & 2 &2&-1\newline0 &1&-1&1 \end{matrix}} \right |=-74$

故得正确答案，解答完毕。