题目
7 单选(10分)关于二元函数 (x,y)=xy((x)^2+(y)^2leqslant 1) 描述正确的是-|||-参考答案:-|||-D:最大值为 -|||-A.最小值为0-|||-B.无最大值-|||-C C.最大值为1-|||-D.最大值为 1/2
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数定义域
函数 $f(x,y)=xy$ 的定义域为 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1$，即圆心在原点，半径为1的圆内及圆上。
步骤 2：分析函数在边界上的取值
在边界上，即 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$，我们可以通过参数化来分析函数的取值。设 $x=\cos\theta$，$y=\sin\theta$，则 $f(x,y)=xy=\cos\theta\sin\theta$。
步骤 3：求函数的最大值
利用三角恒等式 $\cos\theta\sin\theta=\frac{1}{2}\sin2\theta$，我们得到 $f(x,y)=\frac{1}{2}\sin2\theta$。由于 $\sin2\theta$ 的最大值为1，因此 $f(x,y)$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$。
函数 $f(x,y)=xy$ 的定义域为 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1$，即圆心在原点，半径为1的圆内及圆上。
步骤 2：分析函数在边界上的取值
在边界上，即 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$，我们可以通过参数化来分析函数的取值。设 $x=\cos\theta$，$y=\sin\theta$，则 $f(x,y)=xy=\cos\theta\sin\theta$。
步骤 3：求函数的最大值
利用三角恒等式 $\cos\theta\sin\theta=\frac{1}{2}\sin2\theta$，我们得到 $f(x,y)=\frac{1}{2}\sin2\theta$。由于 $\sin2\theta$ 的最大值为1，因此 $f(x,y)$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$。