设 z_1 = (1+i)/(sqrt(2)), z_2 = sqrt(3) - i, 试用指数形式表示 z_1 z_2 及 (z_1)/(z_2).

我们来逐步解决这个问题： --- ### **题目：** 设 $$ z_1 = \frac{1+i}{\sqrt{2}}, \quad z_2 = \sqrt{3} - i $$ 试用**指数形式**表示： 1. $ z_1 z_2 $ 2. $ \frac{z_1}{z_2} $ --- ## **第一步：将复数转换为指数形式** 复数的指数形式为： $$ z = r e^{i\theta} $$ 其中： - $ r = |z| $ 是模长； - $ \theta = \arg(z) $ 是幅角（通常取主值，即 $ -\pi < \theta \leq \pi $） --- ### **1. 求 $ z_1 = \frac{1+i}{\sqrt{2}} $ 的指数形式** 先写出 $ z_1 = \frac{1+i}{\sqrt{2}} $ - 模长： $$ |z_1| = \left| \frac{1+i}{\sqrt{2}} \right| = \frac{|1+i|}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{1^2 + 1^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1 $$ - 幅角： $$ \arg(1+i) = \tan^{-1}(1/1) = \frac{\pi}{4} $$ 所以： $$ z_1 = e^{i\frac{\pi}{4}} $$ --- ### **2. 求 $ z_2 = \sqrt{3} - i $ 的指数形式** - 模长： $$ |z_2| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 $$ - 幅角： $$ \arg(z_2) = \tan^{-1}\left( \frac{-1}{\sqrt{3}} \right) $$ 注意：点 $ (\sqrt{3}, -1) $ 在第四象限，所以幅角是负数： $$ \arg(z_2) = -\tan^{-1}\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = -\frac{\pi}{6} $$ 所以： $$ z_2 = 2 e^{-i\frac{\pi}{6}} $$ --- ## **第二步：求 $ z_1 z_2 $ 的指数形式** 我们有： $$ z_1 = e^{i\frac{\pi}{4}}, \quad z_2 = 2 e^{-i\frac{\pi}{6}} $$ 相乘： $$ z_1 z_2 = e^{i\frac{\pi}{4}} \cdot 2 e^{-i\frac{\pi}{6}} = 2 e^{i\left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \right)} = 2 e^{i\left( \frac{3\pi - 2\pi}{12} \right)} = 2 e^{i\frac{\pi}{12}} $$ --- ## **第三步：求 $ \frac{z_1}{z_2} $ 的指数形式** $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{e^{i\frac{\pi}{4}}}{2 e^{-i\frac{\pi}{6}}} = \frac{1}{2} e^{i\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} \right)} = \frac{1}{2} e^{i\left( \frac{3\pi + 2\pi}{12} \right)} = \frac{1}{2} e^{i\frac{5\pi}{12}} $$ --- ## **最终答案：** 1. $ z_1 z_2 = \boxed{2 e^{i\frac{\pi}{12}}} $ 2. $ \frac{z_1}{z_2} = \boxed{\frac{1}{2} e^{i\frac{5\pi}{12}}} $ --- 如需进一步转换为代数形式或极坐标形式，也可以继续计算，但题目只要求指数形式，所以到此为止。