4.一台设备由三大部分构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10、0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望E(X)和方差D(X).
4.一台设备由三大部分构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10、0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的
数学期望E(X)和方差D(X).
题目解答
答案
解：由题意可得X 的取值范围为 0、1、2、3。
∴当 X=0 时，表示没有部件需要调整，此时的概率为 P(X=0)=(1-0.10)×(1-0.20)×(1-0.30)=0.504
当 X=1 时，表示有一个部件需要调整，此时的概率为 P(X=1)=(0.10)×(1-0.20)×(1-0.30) + (1-0.10)×(0.20)×(1-0.30) + (1-0.10)×(1-0.20)×(0.30)=0.398
当 X=2 时，表示有两个部件需要调整，此时的概率为 P(X=2)=(0.10)×(0.20)×(1-0.30) + (0.10)×(1-0.20)×(0.30) + (1-0.10)×(0.20)×(0.30)=0.092
当 X=3 时，表示三个部件都需要调整，此时的概率为 P(X=3)=(0.10)×(0.20)×(0.30)=0.006
∴E(X) = 0 ×P(X=0) + 1 × P(X=1) + 2× P(X=2) + 3× P(X=3)=0 ×0.504 + 1 ×0.398+ 2×0.092 + 3× 0.006=0.6
E(X²) = 0 ×P(X=0) + 1 × P(X=1) +4× P(X=2) + 9× P(X=3)=0 ×0.504 + 1 ×0.398+ 4×0.092 + 9× 0.006=0.82
∵D(X) = E(X²)-(EX)²
∴D(X) =0.82-0.6×0.6=0.46
综上，X的数学期望E(X)为0.6，方差D(X)为0.46。
解析
核心思路：本题考察独立事件的期望与方差性质。三个部件是否需要调整相互独立，可将X视为三个独立伯努利变量之和，利用期望的线性性和方差的可加性直接求解，无需逐个计算概率。
关键点：
- 分解变量：设$X_i$为第$i$个部件需要调整的指示变量（$X_i=1$表示需要调整，$0$表示不需要）。
- 线性性质：$E(X) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)$，$D(X) = D(X_1) + D(X_2) + D(X_3)$（因独立）。
- 伯努利变量性质：$E(X_i) = p_i$，$D(X_i) = p_i(1-p_i)$。
方法一：直接计算概率法
- 确定X的取值：$X$可取$0,1,2,3$。
- 计算各概率：
- $P(X=0) = (1-0.1)(1-0.2)(1-0.3) = 0.504$
- $P(X=1) = 0.1 \cdot 0.8 \cdot 0.7 + 0.9 \cdot 0.2 \cdot 0.7 + 0.9 \cdot 0.8 \cdot 0.3 = 0.398$
- $P(X=2) = 0.1 \cdot 0.2 \cdot 0.7 + 0.1 \cdot 0.8 \cdot 0.3 + 0.9 \cdot 0.2 \cdot 0.3 = 0.092$
- $P(X=3) = 0.1 \cdot 0.2 \cdot 0.3 = 0.006$
- 计算期望：
$E(X) = 0 \cdot 0.504 + 1 \cdot 0.398 + 2 \cdot 0.092 + 3 \cdot 0.006 = 0.6$ - 计算方差：
- 先求$E(X^2)$：
$E(X^2) = 0^2 \cdot 0.504 + 1^2 \cdot 0.398 + 2^2 \cdot 0.092 + 3^2 \cdot 0.006 = 0.82$ - 再求方差：
$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 0.82 - 0.6^2 = 0.46$
- 先求$E(X^2)$：
方法二：利用独立性快速求解
- 分解变量：设$X = X_1 + X_2 + X_3$，其中$X_i$服从伯努利分布，参数分别为$p_1=0.1$，$p_2=0.2$，$p_3=0.3$。
- 计算期望：
$E(X) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = 0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.6$ - 计算方差：
$D(X) = D(X_1) + D(X_2) + D(X_3) = 0.1 \cdot 0.9 + 0.2 \cdot 0.8 + 0.3 \cdot 0.7 = 0.46$