设函数y=f(x)由方程(e)^xy+(x)^2-2y=0所确定，求y'(0).

考查要点：本题主要考查隐函数求导法的应用，以及代入特定点求导数值的能力。

解题核心思路：

1. 对原方程两边同时关于$x$求导，注意将$y$视为$x$的函数，使用链式法则。
2. 整理求导后的方程，解出$y'$的表达式。
3. 代入$x=0$，结合原方程求出对应的$y(0)$值，最终计算$y'(0)$。

破题关键点：

• 正确处理复合函数求导：对$e^{xy}$使用乘积法则和链式法则。
• 代入$x=0$前需确定对应的$y$值：通过原方程求出$y(0)$。

步骤1：对原方程两边关于$x$求导

原方程：
$e^{xy} + x^2 - 2y = 0$

对每一项求导：

1. $e^{xy}$的导数：
   使用链式法则和乘积法则：
   $\frac{d}{dx}e^{xy} = e^{xy} \cdot \left( y + x \frac{dy}{dx} \right) = e^{xy}(y + xy')$
2. $x^2$的导数：
   $\frac{d}{dx}x^2 = 2x$
3. $-2y$的导数：
   $\frac{d}{dx}(-2y) = -2 \frac{dy}{dx} = -2y'$

综合得：
$e^{xy}(y + xy') + 2x - 2y' = 0$

步骤2：解出$y'$

将含$y'$的项整理到左边：
$e^{xy} \cdot xy' - 2y' = -e^{xy} \cdot y - 2x$

提取$y'$的公因子：
$y' \left( e^{xy} \cdot x - 2 \right) = -e^{xy} \cdot y - 2x$

解得：
$y' = \frac{ -e^{xy} \cdot y - 2x }{ e^{xy} \cdot x - 2 }$

步骤3：代入$x=0$求$y'(0)$

1. 先求$y(0)$：
   在原方程中令$x=0$：
   $e^{0 \cdot y(0)} + 0^2 - 2y(0) = 0 \implies 1 - 2y(0) = 0 \implies y(0) = \frac{1}{2}$

2. 代入$x=0$和$y=\frac{1}{2}$到$y'$的表达式：
   $y'(0) = \frac{ -e^{0 \cdot \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot 0 }{ e^{0 \cdot \frac{1}{2}} \cdot 0 - 2 } = \frac{ -1 \cdot \frac{1}{2} }{ -2 } = \frac{ -\frac{1}{2} }{ -2 } = \frac{1}{4}$