2.求极限lim|-1 cos^2x)

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及三角函数的泰勒展开、等价无穷小替换以及极限的分解技巧。

解题核心思路：
将原式转化为更易处理的形式，通过分子因式分解和分母近似展开，结合极限的乘积法则，分步计算各部分的极限值。

破题关键点：

1. 将cot²x转化为cos²x/sin²x，统一分母后通分；
2. 分子分解为(tanx - x)(tanx + x)，简化表达式；
3. 利用tanx的泰勒展开，计算(tanx - x)/x³的极限；
4. 结合极限的乘积法则，综合各部分结果。

原式化简：
$\begin{aligned}t &= \lim _{x\rightarrow 0}\left(\dfrac {1}{{x}^{2}}-\cot {x}^{2}x\right) \\&= \lim _{x\rightarrow 0}\left(\dfrac {1}{{x}^{2}}-\dfrac {1}{{\tan }^{2}x}\right) \\&= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{\tan }^{2}x-{x}^{2}}{{x}^{2}{\tan }^{2}x}.\end{aligned}$

分子分解：
将分子$\tan^2x - x^2$分解为$(\tan x - x)(\tan x + x)$，分母近似为$x^4$（因$\tan x \sim x$）：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {(\tan x - x)(\tan x + x)}{{x}^{4}}.$

拆分极限：
利用极限的乘积法则，拆分为两部分：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\tan x - x}{{x}^{3}} \cdot \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\tan x + x}{x}.$

计算各部分极限：

1. 第一部分：$\tan x - x \sim \dfrac{x^3}{3}$，故
   $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan x - x}{x^3} = \dfrac{1}{3}.$
2. 第二部分：$\tan x + x \sim 2x$，故
   $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan x + x}{x} = 2.$

综合结果：
两部分相乘得：
$\dfrac{1}{3} \cdot 2 = \dfrac{2}{3}.$