题目
若有n把看上去样子相同的钥匙,其中只有一把能打开门上的锁,用它-|||-们去试开门上的锁.设取到每只钥匙是等可能的.若每把钥匙试开一次后除去,-|||-试用下面两种方法求试开次数X的数学期望.-|||-(1)写出X的分布律.-|||-(2)不写出X的分布律.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义事件和随机变量
定义事件 ${A}_{k}$ 表示第k次试开是成功的，其中 $k=1,2,\cdots,n$。定义随机变量 $X$ 表示试开次数，即 $X=k$ 表示前 $k-1$ 次试开均未成功，第 $k$ 次试开成功。
步骤 2：计算 $X$ 的分布律
根据题意，每把钥匙试开一次后除去，因此每次试开成功的概率是等可能的。对于 $X=k$，即前 $k-1$ 次试开均未成功，第 $k$ 次试开成功，其概率为：
$P\{X=k\} = P(\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\cdots\overline{{A}_{k-1}}{A}_{k})$
$= P(\overline{{A}_{1}})P(\overline{{A}_{2}}|\overline{{A}_{1}})\cdots P(\overline{{A}_{k-1}}|\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\cdots\overline{{A}_{k-2}})P({A}_{k}|\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\cdots\overline{{A}_{k-1}})$
$= \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n-1}\cdots\frac{n-k+1}{n-k+2}\cdot\frac{1}{n-k+1}$
$= \frac{1}{n}$
步骤 3：计算 $X$ 的数学期望
根据分布律，$X$ 的数学期望为：
$E(X) = \sum_{k=1}^{n} k\cdot P\{X=k\}$
$= \sum_{k=1}^{n} k\cdot\frac{1}{n}$
$= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k$
$= \frac{1}{n}\cdot\frac{n(n+1)}{2}$
$= \frac{n+1}{2}$
步骤 4：引入随机变量 $X_k$
定义随机变量 $X_k$ 如下：
$X_k = \begin{cases} 1, & \text{前 } k-1 \text{ 次试开均未成功} \\ 0, & \text{前 } k-1 \text{ 次中有一次试开成功} \end{cases}$
$k=2,3,\cdots,n$，且 $X_1=1$。则有 $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$。
步骤 5：计算 $X_k$ 的期望
$E(X_1) = 1$
$E(X_k) = 1\times P(X_k=1) = 1\times P(A_1A_2\cdots A_{k-1})$
$= P(\overline{A_1})P(\overline{A_2}|\overline{A_1})\cdots P(\overline{A_{k-1}}|\overline{A_1}\overline{A_2}\cdots\overline{A_{k-2}})$
$= \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n-1}\cdots\frac{n-(k-1)}{n-(k-2)}$
$= \frac{n-k+1}{n}$，$k=2,3,\cdots,n$。
步骤 6：计算 $X$ 的数学期望
$E(X) = E(X_1) + \sum_{k=2}^{n} E(X_k)$
$= 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{n-k+1}{n}$
$= 1 + \frac{1}{n}\sum_{k=2}^{n} (n-k+1)$
$= 1 + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} k$
$= 1 + \frac{1}{n}\cdot\frac{(n-1)n}{2}$
$= 1 + \frac{n-1}{2}$
$= \frac{n+1}{2}$
定义事件 ${A}_{k}$ 表示第k次试开是成功的，其中 $k=1,2,\cdots,n$。定义随机变量 $X$ 表示试开次数，即 $X=k$ 表示前 $k-1$ 次试开均未成功，第 $k$ 次试开成功。
步骤 2：计算 $X$ 的分布律
根据题意，每把钥匙试开一次后除去，因此每次试开成功的概率是等可能的。对于 $X=k$，即前 $k-1$ 次试开均未成功，第 $k$ 次试开成功，其概率为：
$P\{X=k\} = P(\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\cdots\overline{{A}_{k-1}}{A}_{k})$
$= P(\overline{{A}_{1}})P(\overline{{A}_{2}}|\overline{{A}_{1}})\cdots P(\overline{{A}_{k-1}}|\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\cdots\overline{{A}_{k-2}})P({A}_{k}|\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\cdots\overline{{A}_{k-1}})$
$= \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n-1}\cdots\frac{n-k+1}{n-k+2}\cdot\frac{1}{n-k+1}$
$= \frac{1}{n}$
步骤 3：计算 $X$ 的数学期望
根据分布律，$X$ 的数学期望为：
$E(X) = \sum_{k=1}^{n} k\cdot P\{X=k\}$
$= \sum_{k=1}^{n} k\cdot\frac{1}{n}$
$= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k$
$= \frac{1}{n}\cdot\frac{n(n+1)}{2}$
$= \frac{n+1}{2}$
步骤 4：引入随机变量 $X_k$
定义随机变量 $X_k$ 如下：
$X_k = \begin{cases} 1, & \text{前 } k-1 \text{ 次试开均未成功} \\ 0, & \text{前 } k-1 \text{ 次中有一次试开成功} \end{cases}$
$k=2,3,\cdots,n$，且 $X_1=1$。则有 $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$。
步骤 5：计算 $X_k$ 的期望
$E(X_1) = 1$
$E(X_k) = 1\times P(X_k=1) = 1\times P(A_1A_2\cdots A_{k-1})$
$= P(\overline{A_1})P(\overline{A_2}|\overline{A_1})\cdots P(\overline{A_{k-1}}|\overline{A_1}\overline{A_2}\cdots\overline{A_{k-2}})$
$= \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n-1}\cdots\frac{n-(k-1)}{n-(k-2)}$
$= \frac{n-k+1}{n}$，$k=2,3,\cdots,n$。
步骤 6：计算 $X$ 的数学期望
$E(X) = E(X_1) + \sum_{k=2}^{n} E(X_k)$
$= 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{n-k+1}{n}$
$= 1 + \frac{1}{n}\sum_{k=2}^{n} (n-k+1)$
$= 1 + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} k$
$= 1 + \frac{1}{n}\cdot\frac{(n-1)n}{2}$
$= 1 + \frac{n-1}{2}$
$= \frac{n+1}{2}$