例1 解"物不知数"问题中的同余方程组-|||- ) x=2(mod3) x=3(mod5) x=2(mod ) .

考查要点：本题主要考查中国剩余定理（孙子定理）的应用，涉及同余方程组的求解方法，重点在于理解模数两两互素时的解题步骤。

解题核心思路：

1. 确认模数互素：验证各模数3、5、7两两互质，满足孙子定理的条件。
2. 构造辅助方程：分别求出各模数对应的乘法逆元。
3. 线性组合求解：将各同余方程的解按权重组合，最终得到通解。

破题关键点：

• 正确计算各模数的乘积及对应的分模数。
• 准确求解每个辅助方程的逆元，这是组合解的关键步骤。

步骤1：计算模数乘积

设总模数为 $M = 3 \times 5 \times 7 = 105$，分模数分别为：
$M_1 = \frac{M}{3} = 35, \quad M_2 = \frac{M}{5} = 21, \quad M_3 = \frac{M}{7} = 15.$

步骤2：求分模数的逆元

分别解以下同余方程：

1. 求 $M_1^{-1} \pmod{3}$：
   $35x \equiv 1 \pmod{3} \implies 2x \equiv 1 \pmod{3}$，解得 $x = 2$（因 $2 \times 2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$）。
2. 求 $M_2^{-1} \pmod{5}$：
   $21x \equiv 1 \pmod{5} \implies 1x \equiv 1 \pmod{5}$，解得 $x = 1$。
3. 求 $M_3^{-1} \pmod{7}$：
   $15x \equiv 1 \pmod{7} \implies 1x \equiv 1 \pmod{7}$，解得 $x = 1$。

步骤3：组合各分量解

根据孙子定理，解为：
$x = b_1 M_1 M_1^{-1} + b_2 M_2 M_2^{-1} + b_3 M_3 M_3^{-1} \pmod{M},$
代入数据：
$x = 2 \times 35 \times 2 + 3 \times 21 \times 1 + 2 \times 15 \times 1 = 140 + 63 + 30 = 233 \equiv 23 \pmod{105}.$