已知球面过原点和A(2,0,0),B(1,2,0), C(1,0,-1),求方程

步骤 1：确定球心坐标
球心坐标设为$(x_0, y_0, z_0)$。球面过原点，A(2,0,0),B(1,2,0), C(1,0,-1)，则球心到这些点的距离相等，即球的半径。因此，我们可以列出以下方程组：
\[
\begin{cases}
x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = r^2 \\
(x_0 - 2)^2 + y_0^2 + z_0^2 = r^2 \\
(x_0 - 1)^2 + (y_0 - 2)^2 + z_0^2 = r^2 \\
(x_0 - 1)^2 + y_0^2 + (z_0 + 1)^2 = r^2
\end{cases}
\]
步骤 2：解方程组
从第一个方程，我们有$r^2 = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2$。将$r^2$代入其他方程，可以消去$r^2$，得到：
\[
\begin{cases}
(x_0 - 2)^2 + y_0^2 + z_0^2 = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 \\
(x_0 - 1)^2 + (y_0 - 2)^2 + z_0^2 = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 \\
(x_0 - 1)^2 + y_0^2 + (z_0 + 1)^2 = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2
\end{cases}
\]
化简上述方程组，得到：
\[
\begin{cases}
-4x_0 + 4 = 0 \\
-2x_0 - 4y_0 + 5 = 0 \\
-2x_0 + 2z_0 + 2 = 0
\end{cases}
\]
解得：$x_0 = 1, y_0 = \frac{3}{4}, z_0 = 0$。
步骤 3：确定球的方程
球心坐标为$(1, \frac{3}{4}, 0)$，半径$r$可以通过球心到原点的距离计算得到，即$r = \sqrt{1^2 + (\frac{3}{4})^2 + 0^2} = \frac{5}{4}$。因此，球的方程为：
\[
(x - 1)^2 + (y - \frac{3}{4})^2 + z^2 = (\frac{5}{4})^2
\]