题目
6.证明 (x)=(int )_(1)^xsqrt (1+{t)^3}dt 在 [ -1,+infty ) 上是单调增加函数,并求 ((f)^-1)'(0).
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明 $f(x)$ 在 $[ -1,+\infty )$ 上是单调增加函数
根据微积分基本定理，$f(x)$ 的导数为 $f'(x) = \sqrt{1 + x^3}$。由于 $x^3$ 在 $[-1, +\infty)$ 上非负，因此 $1 + x^3$ 在 $[-1, +\infty)$ 上非负，从而 $\sqrt{1 + x^3}$ 在 $[-1, +\infty)$ 上非负。因此，$f'(x) \geq 0$ 对于所有 $x \in [-1, +\infty)$ 成立，这意味着 $f(x)$ 在 $[-1, +\infty)$ 上是单调增加的。
步骤 2：求 $({f}^{-1})'(0)$
首先，我们需要找到 $f(x)$ 的值为 $0$ 的点。由于 $f(x) = \int_{1}^{x} \sqrt{1 + t^3} dt$，当 $x = 1$ 时，$f(1) = \int_{1}^{1} \sqrt{1 + t^3} dt = 0$。因此，$f^{-1}(0) = 1$。根据导数的逆函数定理，$({f}^{-1})'(0) = \frac{1}{f'(1)}$。由于 $f'(x) = \sqrt{1 + x^3}$，我们有 $f'(1) = \sqrt{1 + 1^3} = \sqrt{2}$。因此，$({f}^{-1})'(0) = \frac{1}{\sqrt{2}}$。
根据微积分基本定理，$f(x)$ 的导数为 $f'(x) = \sqrt{1 + x^3}$。由于 $x^3$ 在 $[-1, +\infty)$ 上非负，因此 $1 + x^3$ 在 $[-1, +\infty)$ 上非负，从而 $\sqrt{1 + x^3}$ 在 $[-1, +\infty)$ 上非负。因此，$f'(x) \geq 0$ 对于所有 $x \in [-1, +\infty)$ 成立，这意味着 $f(x)$ 在 $[-1, +\infty)$ 上是单调增加的。
步骤 2：求 $({f}^{-1})'(0)$
首先，我们需要找到 $f(x)$ 的值为 $0$ 的点。由于 $f(x) = \int_{1}^{x} \sqrt{1 + t^3} dt$，当 $x = 1$ 时，$f(1) = \int_{1}^{1} \sqrt{1 + t^3} dt = 0$。因此，$f^{-1}(0) = 1$。根据导数的逆函数定理，$({f}^{-1})'(0) = \frac{1}{f'(1)}$。由于 $f'(x) = \sqrt{1 + x^3}$，我们有 $f'(1) = \sqrt{1 + 1^3} = \sqrt{2}$。因此，$({f}^{-1})'(0) = \frac{1}{\sqrt{2}}$。