题目
一质点沿半径为R的圆周运动.质点所经过的弧长与时间的关系为-|||-=bt+dfrac (1)(2)c(t)^2, 其中,b、c是大于零的常量,求从 t=0 开始到切向加速度与法向加速度-|||-大小相等时所经历的时间.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算质点的速率
质点的速率是弧长随时间变化的导数，即速率$v$为：
$v=\dfrac {ds}{dt}=\dfrac {d}{dt}(bt+\dfrac {1}{2}c{t}^{2})=b+ct$
步骤 2：计算切向加速度
切向加速度是速率随时间变化的导数，即切向加速度$a_t$为：
$a_t=\dfrac {dv}{dt}=\dfrac {d}{dt}(b+ct)=c$
步骤 3：计算法向加速度
法向加速度是速率的平方除以圆周的半径，即法向加速度$a_n$为：
$a_n=\dfrac {v^2}{R}=\dfrac {(b+ct)^2}{R}$
步骤 4：求解切向加速度与法向加速度相等时的时间
当切向加速度与法向加速度相等时，有：
$c=\dfrac {(b+ct)^2}{R}$
解这个方程，得到：
$(b+ct)^2=cR$
$b+ct=\sqrt{cR}$
$t=\dfrac{\sqrt{cR}-b}{c}$
质点的速率是弧长随时间变化的导数，即速率$v$为：
$v=\dfrac {ds}{dt}=\dfrac {d}{dt}(bt+\dfrac {1}{2}c{t}^{2})=b+ct$
步骤 2：计算切向加速度
切向加速度是速率随时间变化的导数，即切向加速度$a_t$为：
$a_t=\dfrac {dv}{dt}=\dfrac {d}{dt}(b+ct)=c$
步骤 3：计算法向加速度
法向加速度是速率的平方除以圆周的半径，即法向加速度$a_n$为：
$a_n=\dfrac {v^2}{R}=\dfrac {(b+ct)^2}{R}$
步骤 4：求解切向加速度与法向加速度相等时的时间
当切向加速度与法向加速度相等时，有：
$c=\dfrac {(b+ct)^2}{R}$
解这个方程，得到：
$(b+ct)^2=cR$
$b+ct=\sqrt{cR}$
$t=\dfrac{\sqrt{cR}-b}{c}$