分别按下列条件求平面方程: (1)平行于zOx面且经过点(2, -5, 3); (2)通过z轴和点(-3, 1, -2); (3)平行于x轴且经过两点(4, 0, -2)和(5, 1, 7)。
分别按下列条件求平面方程:
(1)平行于$$zOx$$面且经过点$$(2, -5, 3)$$;
(2)通过$$z$$轴和点$$(-3, 1, -2)$$;
(3)平行于$$x$$轴且经过两点$$(4, 0, -2)$$和$$(5, 1, 7)$$。
题目解答
答案
(1) 所求平面的法线向量为$$\overrightarrow{n}=(A,B,C)$$, 则$$\overrightarrow{n}\perp 面xOy$$,即$$\overrightarrow{n}$$与$$z$$轴平行，不妨令$$\overrightarrow{n}=(0，0，1)$$，点法式$$0\times (x-2)+0\times (y+5)+1\times (z-3)=0$$,平面方程$$z=3$$.
(2) 所求平面可设为$$Ax+By=0$$,因为点$$(-3, 1, -2)$$在此平面上, 所以$$-3A+B=0$$,
将$$B=3A$$代入所设方程得$$Ax+3Ay=0$$
所以所求的平面的方程为$$x+3y=0$$
(3) 所求平面的法线向量可设为$$\overrightarrow{n}=(0,b,c)$$. 因为点$$(4, 0, -2)$$和$$(5, 1, 7)$$都在所求平面上, 所以向量$$\overrightarrow{n_1} =(5, 1, 7)-(4, 0, -2)=(1, 1, 9)$$与$$\overrightarrow{n}$$是垂直的, 即$$b+9c=0$$, $$b=-9c$$ ,
于是 $$\overrightarrow{n} =(0, -9c, c)=-c(0, 9, -1)$$.
所求平面的方程为$$9y-z+d=0$$,将点$$(4, 0, -2)$$和$$(5, 1, 7)$$代入，得$$d=-2$$
所以方程为$$9y-z-2=0$$