微分方程 y''-y=e^x+1 的一个特解应具有形式（式中a、b为常数)()A. ae^x+bB. axe^x+bC. ae^x+bxD. axe^x+bx

考查要点：本题主要考查二阶非齐次线性微分方程特解形式的确定方法，涉及待定系数法的应用。

解题核心思路：

1. 判断非齐次项类型：非齐次项为 $e^x + 1$，包含指数项和常数项。
2. 分析齐次方程特征根：对应齐次方程 $y'' - y = 0$ 的特征根为 $r = \pm 1$。
3. 确定特解形式：
   • 对于 $e^x$，因 $r=1$ 是特征根，需将特解形式调整为 $axe^x$。
   • 对于常数项 $1$，因 $r=0$ 不是特征根，特解形式为常数 $b$。
4. 叠加特解：将两部分特解叠加，得到最终形式。

破题关键：识别非齐次项与齐次解的重复性，并正确调整特解形式中的因子（如乘以 $x$）。

非齐次项 $e^x$ 的特解形式

1. 齐次方程特征根：方程 $y'' - y = 0$ 的特征方程为 $r^2 - 1 = 0$，解得 $r = 1$ 或 $r = -1$。
2. 非齐次项 $e^x$ 的分析：因 $e^x$ 对应的指数因子 $r=1$ 是特征根，故特解形式需调整为 $y_1 = axe^x$（乘以 $x$）。

非齐次项 $1$ 的特解形式

1. 非齐次项 $1$ 的分析：常数项可视为 $e^{0x}$，而 $r=0$ 不是特征根，故特解形式为常数 $y_2 = b$。

特解叠加

将两部分特解叠加，总特解形式为：
$y = axe^x + b$

对应选项：B. $axe^x + b$