设L是柱面方程 ^2+(y)^2=1 与平面 z=x+y 的交线,从z轴正向往z轴负-|||-向看去为逆时针方向,则曲线积分 int xzdx+xdy+dfrac ({y)^2}(2)dz= __

考查要点：本题主要考查对空间曲线积分的计算能力，涉及参数方程的建立、微分元素的转换以及积分化简技巧。

解题核心思路：

1. 参数化曲线：利用柱面方程$x^2 + y^2 = 1$的周期性，将曲线L参数化为$x = \cos t$，$y = \sin t$，并结合平面方程$z = x + y$得到$z = \cos t + \sin t$。
2. 转换微分元素：将$dx$、$dy$、$dz$用参数$t$的微分表示，代入积分表达式。
3. 分项积分：将积分拆分为三个部分分别计算，利用对称性、奇偶性简化计算过程，最终求和得到结果。

破题关键点：

• 参数方程的正确建立是基础，需确保参数范围覆盖整个闭合曲线。
• 积分项的化简需注意三角函数的周期性和对称性，例如$\int_0^{2\pi} \cos^2 t \, dt = \pi$，而奇函数在对称区间积分结果为0。

参数方程与微分元素

曲线L的参数方程为：
$\begin{cases}x = \cos t \\y = \sin t \\z = \cos t + \sin t\end{cases} \quad (0 \leq t \leq 2\pi)$
对应的微分元素为：
$dx = -\sin t \, dt, \quad dy = \cos t \, dt, \quad dz = (-\sin t + \cos t) \, dt$

积分表达式展开

将积分拆分为三部分：

1. $xz \, dx$：
   $\cos t (\cos t + \sin t) (-\sin t) = -\cos^2 t \sin t - \cos t \sin^2 t$
2. $x \, dy$：
   $\cos t \cdot \cos t = \cos^2 t$
3. $\dfrac{y^2}{2} \, dz$：
   $\frac{\sin^2 t}{2} (-\sin t + \cos t) = -\frac{\sin^3 t}{2} + \frac{\sin^2 t \cos t}{2}$

合并并化简积分

总积分为：
$\int_0^{2\pi} \left[ -\cos^2 t \sin t - \cos t \sin^2 t + \cos^2 t - \frac{\sin^3 t}{2} + \frac{\sin^2 t \cos t}{2} \right] dt$
关键化简：

• $-\cos^2 t \sin t$：积分结果为0（奇函数对称性）。
• $\cos^2 t$：积分结果为$\pi$（利用$\cos^2 t = \dfrac{1 + \cos 2t}{2}$）。
• 其他项：均含奇函数因子，积分结果为0。