题目
在均匀外场E0中置入一带均匀自由电荷密度为ρ1的绝缘介质球(电-|||-容率为ε)求空间各点的电势.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定定解条件
在均匀外场E0中置入一带均匀自由电荷密度为ρ1的绝缘介质球，其电容率为ε。我们需要求解空间各点的电势。首先，我们需要确定定解条件。定解条件包括泊松方程和拉普拉斯方程的解，以及边界条件。
步骤 2：求解泊松方程
由于介质球内自由电荷密度ρ1为常数，其场及其引起的极化电荷产生的场都有球对称性。由高斯定理可求出球内外电场的球对称部分E10和E20，进而可求出电势。泊松方程的特解为：
${\varphi }_{{l}_{p}}=\dfrac {{p}_{1}({{R}_{0}}^{2}-{R}^{2})}{6\varepsilon }+\dfrac {{p}_{1}{{R}_{0}}^{2}}{3{\varepsilon }_{0}}$
步骤 3：求解拉普拉斯方程
拉普拉斯方程的通解为：
${\varphi }_{1}={\varphi }_{1}+\varphi '$ , ${\varphi }_{2}={\varphi }_{2}+{\varphi }_{2}'$
步骤 4：应用边界条件
应用边界条件，求解出φ1和φ2的表达式。由条件(3)和(4)，可解出：
${\varphi }_{1}=\dfrac {{P}_{1}({{R}_{0}}^{2}-{{R}_{2}}^{2})}{6\varepsilon }+\dfrac {{P}_{1}{{R}_{0}}^{2}}{3{\varepsilon }_{0}}-\dfrac {3{\varepsilon }_{0}}{\varepsilon +$
步骤 5：解释结果
球内φ1的第三项即为φ'1，是原外场与介质球面极化电荷产生的均匀场之叠加；球外φ2的第二项是原外场，第三项是介质球面极化电荷产生的偶极场，它们之和就是φ'2，其实，φ'1和φ'2就是不带电的均匀介质球(此时球内电势方程为 ${D}^{2}{\varphi }_{1}=0$ 置入均匀外电场E 0时的解。
在均匀外场E0中置入一带均匀自由电荷密度为ρ1的绝缘介质球，其电容率为ε。我们需要求解空间各点的电势。首先，我们需要确定定解条件。定解条件包括泊松方程和拉普拉斯方程的解，以及边界条件。
步骤 2：求解泊松方程
由于介质球内自由电荷密度ρ1为常数，其场及其引起的极化电荷产生的场都有球对称性。由高斯定理可求出球内外电场的球对称部分E10和E20，进而可求出电势。泊松方程的特解为：
${\varphi }_{{l}_{p}}=\dfrac {{p}_{1}({{R}_{0}}^{2}-{R}^{2})}{6\varepsilon }+\dfrac {{p}_{1}{{R}_{0}}^{2}}{3{\varepsilon }_{0}}$
步骤 3：求解拉普拉斯方程
拉普拉斯方程的通解为：
${\varphi }_{1}={\varphi }_{1}+\varphi '$ , ${\varphi }_{2}={\varphi }_{2}+{\varphi }_{2}'$
步骤 4：应用边界条件
应用边界条件，求解出φ1和φ2的表达式。由条件(3)和(4)，可解出：
${\varphi }_{1}=\dfrac {{P}_{1}({{R}_{0}}^{2}-{{R}_{2}}^{2})}{6\varepsilon }+\dfrac {{P}_{1}{{R}_{0}}^{2}}{3{\varepsilon }_{0}}-\dfrac {3{\varepsilon }_{0}}{\varepsilon +$
步骤 5：解释结果
球内φ1的第三项即为φ'1，是原外场与介质球面极化电荷产生的均匀场之叠加；球外φ2的第二项是原外场，第三项是介质球面极化电荷产生的偶极场，它们之和就是φ'2，其实，φ'1和φ'2就是不带电的均匀介质球(此时球内电势方程为 ${D}^{2}{\varphi }_{1}=0$ 置入均匀外电场E 0时的解。