一根长为 1 的细棒位于 x 轴的区间 [0,1] 上 , 若其线密度 ρ(x)=−x2+2x+1, 则该细棒的质心坐标 x˙¯=___.

质心坐标公式是解决本题的核心。对于线密度为$\rho(x)$的细棒，其质心坐标$x̄$的计算公式为：
$x̄ = \frac{\int_{0}^{1} x \rho(x) \, dx}{\int_{0}^{1} \rho(x) \, dx}$
关键步骤包括：

1. 计算分母：对线密度函数$\rho(x) = -x^2 + 2x + 1$在区间$[0,1]$上积分；
2. 计算分子：对$x \rho(x)$在区间$[0,1]$上积分；
3. 化简分数得到最终结果。

分母计算

$\int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x \right]_{0}^{1} = \left( -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right) - 0 = \frac{5}{3}$

分子计算

$\int_{0}^{1} x(-x^2 + 2x + 1) \, dx = \int_{0}^{1} (-x^3 + 2x^2 + x) \, dx = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{1}$
代入上下限：
$\left( -\frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \right) - 0 = \frac{-3 + 8 + 6}{12} = \frac{11}{12}$

结果化简

$x̄ = \frac{\frac{11}{12}}{\frac{5}{3}} = \frac{11}{12} \times \frac{3}{5} = \frac{11}{20}$