四、设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=}kxy,0le xle y,0le yle 1,0,其他.其中k为常数，求(1)常数k; (2)P(X+Y≥1),P(X<0.5).

为了解决这个问题，我们需要确定常数 $k$ 并计算概率 $P\{X+Y \ge 1\}$ 和 $P\{X < 0.5\}$。

第一步：确定常数 $k$

概率密度函数 $f(x, y)$ 必须满足整个平面上的积分等于1的条件。因此，我们有：
$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dx \, dy = 1$
由于 $f(x, y) = kxy$ 对于 $0 \le x \le y$ 和 $0 \le y \le 1$，在其他地方为0，积分简化为：
$\int_0^1 \int_0^y kxy \, dx \, dy = 1$
首先，我们对 $x$ 进行积分：
$\int_0^y kxy \, dx = k y \int_0^y x \, dx = k y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^y = k y \cdot \frac{y^2}{2} = \frac{k y^3}{2}$
接下来，我们对 $y$ 进行积分：
$\int_0^1 \frac{k y^3}{2} \, dy = \frac{k}{2} \int_0^1 y^3 \, dy = \frac{k}{2} \left[ \frac{y^4}{4} \right]_0^1 = \frac{k}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{k}{8}$
将此等于1，我们得到：
$\frac{k}{8} = 1 \implies k = 8$
因此，常数 $k$ 是 $8$。

第二步：计算 $P\{X+Y \ge 1\}$

概率 $P\{X+Y \ge 1\}$ 是 $f(x, y)$ 在区域 $0 \le x \le y$，$0 \le y \le 1$，和 $x + y \ge 1$ 上的积分。这个区域可以通过 $y$ 从 $\frac{1}{2}$ 到 $1$ 和 $x$ 从 $1 - y$ 到 $y$ 来描述。因此，我们有：
$P\{X+Y \ge 1\} = \int_{\frac{1}{2}}^1 \int_{1-y}^y 8xy \, dx \, dy$
首先，我们对 $x$ 进行积分：
$\int_{1-y}^y 8xy \, dx = 8y \int_{1-y}^y x \, dx = 8y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1-y}^y = 8y \left( \frac{y^2}{2} - \frac{(1-y)^2}{2} \right) = 8y \left( \frac{y^2 - (1 - 2y + y^2)}{2} \right) = 8y \left( \frac{2y - 1}{2} \right) = 8y^2 - 4y$
接下来，我们对 $y$ 进行积分：
$\int_{\frac{1}{2}}^1 (8y^2 - 4y) \, dy = \left[ \frac{8y^3}{3} - 2y^2 \right]_{\frac{1}{2}}^1 = \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - \left( \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{8} - 2 \cdot \frac{1}{4} \right) = \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{8}{3} - \frac{6}{3} \right) - \left( \frac{2}{6} - \frac{3}{6} \right) = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
因此，概率 $P\{X+Y \ge 1\}$ 是 $\frac{5}{6}$。

第三步：计算 $P\{X < 0.5\}$

概率 $P\{X < 0.5\}$ 是 $f(x, y)$ 在区域 $0 \le x \le \frac{1}{2}$，$x \le y \le 1$ 上的积分。这个区域可以通过 $x$ 从 $0$ 到 $\frac{1}{2}$ 和 $y$ 从 $x$ 到 $1$ 来描述。因此，我们有：
$P\{X < 0.5\} = \int_0^{\frac{1}{2}} \int_x^1 8xy \, dy \, dx$
首先，我们对 $y$ 进行积分：
$\int_x^1 8xy \, dy = 8x \int_x^1 y \, dy = 8x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_x^1 = 8x \left( \frac{1}{2} - \frac{x^2}{2} \right) = 8x \cdot \frac{1 - x^2}{2} = 4x (1 - x^2) = 4x - 4x^3$
接下来，我们对 $x$ 进行积分：
$\int_0^{\frac{1}{2}} (4x - 4x^3) \, dx = \left[ 2x^2 - x^4 \right]_0^{\frac{1}{2}} = \left( 2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) - (0) = \frac{1}{2} - \frac{1}{16} = \frac{8}{16} - \frac{1}{16} = \frac{7}{16}$
因此，概率 $P\{X < 0.5\}$ 是 $\frac{7}{16}$。

最终答案

$\boxed{\frac{5}{6}} \quad \text{和} \quad \boxed{\frac{7}{16}}$