题目
3. (5.0分) I=iiintlimits_(Omega)zdv，其中Ω为z²=x²+y²,z=1围成的立体， (1) I=int_(0)^2pidthetaint_(0)^1rho drhoint_(0)^1zdz (2) I=int_(0)^2pidthetaint_(0)^1rho drhoint_(rho)^1zdz (3) I=int_(0)^2pidthetaint_(0)^1dzint_(rho)^1rho drho (4) I=int_(0)^1dzint_(0)^2pidthetaint_(0)^zzrho drho 则正确的解法为( ). A. (1) (3) B. (3) (4) C. (2) (4) D. (1) (2)
3. (5.0分) $I=\iiint\limits_{\Omega}zdv$，其中Ω为z²=x²+y²,z=1围成的立体， (1) $I=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}\rho d\rho\int_{0}^{1}zdz$ (2) $I=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}\rho d\rho\int_{\rho}^{1}zdz$ (3) $I=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}dz\int_{\rho}^{1}\rho d\rho$ (4) $I=\int_{0}^{1}dz\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{z}z\rho d\rho$ 则正确的解法为( ).
A. (1) (3)
B. (3) (4)
C. (2) (4)
D. (1) (2)
A. (1) (3)
B. (3) (4)
C. (2) (4)
D. (1) (2)
题目解答
答案
在柱坐标系中，积分区域 $\Omega$ 由 $z^2 = x^2 + y^2$ 和 $z = 1$ 围成。
- **选项分析**：
(1) $z$ 范围为 $[0, 1]$，与 $\rho$ 无关，错误。
(2) $\rho$ 范围为 $[0, 1]$，$z$ 范围为 $[\rho, 1]$，符合圆锥特征，正确。
(3) $\rho$ 范围依赖于自身，无意义，错误。
(4) $z$ 范围为 $[0, 1]$，$\rho$ 范围为 $[0, z]$，正确。
**答案**：
正确选项为 (2) 和 (4)，对应 **C**。
\[
\boxed{C}
\]
解析
考查要点：本题主要考查柱坐标系下三重积分的积分限确定，以及对空间区域的理解。
解题核心：
- 积分区域分析：Ω由圆锥面$z^2 = x^2 + y^2$（即$z = \rho$）和上底面$z=1$围成，需明确$\rho$与$z$的上下限关系。
- 积分顺序判断：根据柱坐标系的转换规则，正确表达$\rho$、$z$、$\theta$的积分范围。
关键点：
- 圆锥面的约束：在圆锥内部，$\rho \leq z$，因此$\rho$的上限应为$z$，而$z$的下限应为$\rho$。
- 积分变量独立性：积分变量不能出现在积分限中（如选项(3)中的$\rho$作为积分限）。
选项(1)
积分限：$\rho \in [0,1]$，$z \in [0,1]$
错误原因：未考虑圆锥面约束。当$\rho > z$时，积分区域超出圆锥范围，导致结果错误。
选项(2)
积分限：$\rho \in [0,1]$，$z \in [\rho,1]$
正确性：
- 对每个$\rho$，$z$从圆锥面$z=\rho$到上底面$z=1$，符合圆锥内部区域特征。
选项(3)
积分限：$\rho \in [\rho,1]$
错误原因：积分变量$\rho$出现在积分限中，导致积分无意义。
选项(4)
积分限：$z \in [0,1]$，$\rho \in [0,z]$
正确性：
- 对每个$z$，$\rho$从$0$到圆锥面$\rho=z$，正确描述圆锥内部区域。
结论：正确选项为(2)和(4)，对应选项C。