题目
已知连续型随机变量×的分布函数为：×求：(1)常数×；(2)×的概率密度函数；(3)×
已知连续型随机变量
的分布函数为：
求：(1)常数
；(2)的概率密度函数；(3)
题目解答
答案
(1)已知连续型随机变量的分布函数为：，由于连续型随机变量的分布函数
为连续函数，因此考查在
的连续性，有
，可知
，又
，可知
，从而可得
，于是
(2)的概率密度函数为
(3)
解析
步骤 1：确定常数A和B
由于连续型随机变量的分布函数$F(x)$是连续函数，因此需要保证在$x=0$和$x=1$处的连续性。根据分布函数的定义，我们有：
- 当$x\rightarrow 0^{-}$时，$F(x)=Ae^{x}$，因此$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}F(x)=A$。
- 当$x\rightarrow 0^{+}$时，$F(x)=B$，因此$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}F(x)=B$。
- 当$x\rightarrow 1^{-}$时，$F(x)=B$，因此$\lim_{x\rightarrow 1^{-}}F(x)=B$。
- 当$x\rightarrow 1^{+}$时，$F(x)=1-Ae^{-x}$，因此$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}F(x)=1-A$。
由于$F(x)$在$x=0$和$x=1$处连续，我们有$A=B$和$B=1-A$。解这个方程组，得到$A=B=\dfrac{1}{2}$。
步骤 2：求概率密度函数
概率密度函数$f(x)$是分布函数$F(x)$的导数。根据$F(x)$的定义，我们有：
- 当$x<0$时，$F(x)=\dfrac{1}{2}e^{x}$，因此$f(x)=\dfrac{1}{2}e^{x}$。
- 当$0\leqslant x<1$时，$F(x)=\dfrac{1}{2}$，因此$f(x)=0$。
- 当$x\geqslant 1$时，$F(x)=1-\dfrac{1}{2}e^{-x}$，因此$f(x)=\dfrac{1}{2}e^{-x}$。
所以，$f(x)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac{1}{2}e^{x},\quad x<0\\ 0,\quad 0\leqslant x<1\\ \dfrac{1}{2}e^{-x},\quad x\geqslant 1\end{matrix} \right.$。
步骤 3：计算$P(0根据概率密度函数$f(x)$，我们有$P(0
由于连续型随机变量的分布函数$F(x)$是连续函数，因此需要保证在$x=0$和$x=1$处的连续性。根据分布函数的定义，我们有：
- 当$x\rightarrow 0^{-}$时，$F(x)=Ae^{x}$，因此$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}F(x)=A$。
- 当$x\rightarrow 0^{+}$时，$F(x)=B$，因此$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}F(x)=B$。
- 当$x\rightarrow 1^{-}$时，$F(x)=B$，因此$\lim_{x\rightarrow 1^{-}}F(x)=B$。
- 当$x\rightarrow 1^{+}$时，$F(x)=1-Ae^{-x}$，因此$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}F(x)=1-A$。
由于$F(x)$在$x=0$和$x=1$处连续，我们有$A=B$和$B=1-A$。解这个方程组，得到$A=B=\dfrac{1}{2}$。
步骤 2：求概率密度函数
概率密度函数$f(x)$是分布函数$F(x)$的导数。根据$F(x)$的定义，我们有：
- 当$x<0$时，$F(x)=\dfrac{1}{2}e^{x}$，因此$f(x)=\dfrac{1}{2}e^{x}$。
- 当$0\leqslant x<1$时，$F(x)=\dfrac{1}{2}$，因此$f(x)=0$。
- 当$x\geqslant 1$时，$F(x)=1-\dfrac{1}{2}e^{-x}$，因此$f(x)=\dfrac{1}{2}e^{-x}$。
所以，$f(x)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac{1}{2}e^{x},\quad x<0\\ 0,\quad 0\leqslant x<1\\ \dfrac{1}{2}e^{-x},\quad x\geqslant 1\end{matrix} \right.$。
步骤 3：计算$P(0