题目
已知A，B为两个随机事件，且P（A）=(1)/(2)，P（B）=(3)/(5)，P（B|A）=(4)/(5)，则P[overline(B)|（A∪B）]=(1)/(7)． ____ （判断对错）
已知A，B为两个随机事件，且P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{3}{5}$，P（B|A）=$\frac{4}{5}$，则P[$\overline{B}$|（A∪B）]=$\frac{1}{7}$． ____ （判断对错）
题目解答
答案
解：∵A，B为两个随机事件，且P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{3}{5}$，P（B|A）=$\frac{4}{5}$，
∴P（AB）=P（A）P（B|A）=$\frac{1}{2}×\frac{4}{5}$=$\frac{2}{5}$，
P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=$\frac{1}{2}+\frac{3}{5}-\frac{2}{5}$=$\frac{7}{10}$，
P（（A∪B）∩$\overline{B}$]=$\frac{7}{10}-$（1-$\frac{3}{5}$）=$\frac{3}{10}$，
∴P[$\overline{B}$|（A∪B）]=$\frac{P((A∪B)∩\overline{B})}{P(A∪B)}$=$\frac{\frac{3}{10}}{\frac{7}{10}}$=$\frac{3}{7}$．
故答案为：错．
∴P（AB）=P（A）P（B|A）=$\frac{1}{2}×\frac{4}{5}$=$\frac{2}{5}$，
P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=$\frac{1}{2}+\frac{3}{5}-\frac{2}{5}$=$\frac{7}{10}$，
P（（A∪B）∩$\overline{B}$]=$\frac{7}{10}-$（1-$\frac{3}{5}$）=$\frac{3}{10}$，
∴P[$\overline{B}$|（A∪B）]=$\frac{P((A∪B)∩\overline{B})}{P(A∪B)}$=$\frac{\frac{3}{10}}{\frac{7}{10}}$=$\frac{3}{7}$．
故答案为：错．
解析
步骤 1：计算P（AB）
根据条件概率的定义，P（B|A）=$\frac{P(AB)}{P(A)}$，可以得到P（AB）=P（A）P（B|A）=$\frac{1}{2}×\frac{4}{5}$=$\frac{2}{5}$。
步骤 2：计算P（A∪B）
根据概率的加法公式，P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=$\frac{1}{2}+\frac{3}{5}-\frac{2}{5}$=$\frac{7}{10}$。
步骤 3：计算P（（A∪B）∩$\overline{B}$）
P（（A∪B）∩$\overline{B}$）=P（A∪B）-P（B）=$\frac{7}{10}-\frac{3}{5}$=$\frac{1}{10}$。
步骤 4：计算P[$\overline{B}$|（A∪B）]
根据条件概率的定义，P[$\overline{B}$|（A∪B）]=$\frac{P((A∪B)∩\overline{B})}{P(A∪B)}$=$\frac{\frac{1}{10}}{\frac{7}{10}}$=$\frac{1}{7}$。
根据条件概率的定义，P（B|A）=$\frac{P(AB)}{P(A)}$，可以得到P（AB）=P（A）P（B|A）=$\frac{1}{2}×\frac{4}{5}$=$\frac{2}{5}$。
步骤 2：计算P（A∪B）
根据概率的加法公式，P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=$\frac{1}{2}+\frac{3}{5}-\frac{2}{5}$=$\frac{7}{10}$。
步骤 3：计算P（（A∪B）∩$\overline{B}$）
P（（A∪B）∩$\overline{B}$）=P（A∪B）-P（B）=$\frac{7}{10}-\frac{3}{5}$=$\frac{1}{10}$。
步骤 4：计算P[$\overline{B}$|（A∪B）]
根据条件概率的定义，P[$\overline{B}$|（A∪B）]=$\frac{P((A∪B)∩\overline{B})}{P(A∪B)}$=$\frac{\frac{1}{10}}{\frac{7}{10}}$=$\frac{1}{7}$。