题目
一俱乐部有5名一年级学生，2名二年级学生，3名三年级学生，2名四年级学生.（1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率.（2）在其中任选5名学生，求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率.
一俱乐部有5名一年级学生，2名二年级学生，3名三年级学生，2名四年级学生.
（1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率.
（2）在其中任选5名学生，求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率.
题目解答
答案
解:（1）共有
名学生在其中任选4名共有
种选法,其中每年级各选1名的选法有
种选法因此，所求概率为
.
（2）在12名学生中任选5名的选法共有
种在每个年级中有一个年级取2 名，而其他3个年级
各取1名的取法共有
种.
于是所求的概率为
.
解析
步骤 1：计算总的学生数
总共有$5+2+3+2=12$名学生。
步骤 2：计算任选4名学生的组合数
在12名学生中任选4名的组合数为${C}_{12}^{4}=\dfrac{12!}{4!(12-4)!}=\dfrac{12\times11\times10\times9}{4\times3\times2\times1}=495$。
步骤 3：计算一、二、三、四年级各选1名学生的组合数
一、二、三、四年级各选1名学生的组合数为${C}_{5}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}=5\times2\times3\times2=60$。
步骤 4：计算一、二、三、四年级各选1名学生的概率
所求概率为$P=\dfrac{60}{495}=\dfrac{4}{33}$。
步骤 5：计算任选5名学生的组合数
在12名学生中任选5名的组合数为${C}_{12}^{5}=\dfrac{12!}{5!(12-5)!}=\dfrac{12\times11\times10\times9\times8}{5\times4\times3\times2\times1}=792$。
步骤 6：计算一、二、三、四年级均包含在内的组合数
一、二、三、四年级均包含在内的组合数为${C}_{5}^{2}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{5}^{1}{C}_{2}^{2}{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{5}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}+{C}_{5}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{2}=10\times2\times3\times2+5\times1\times3\times2+5\times2\times3\times2+5\times2\times3\times1=120+30+60+30=240$。
步骤 7：计算一、二、三、四年级均包含在内的概率
所求概率为$P=\dfrac{240}{792}=\dfrac{10}{33}$。
总共有$5+2+3+2=12$名学生。
步骤 2：计算任选4名学生的组合数
在12名学生中任选4名的组合数为${C}_{12}^{4}=\dfrac{12!}{4!(12-4)!}=\dfrac{12\times11\times10\times9}{4\times3\times2\times1}=495$。
步骤 3：计算一、二、三、四年级各选1名学生的组合数
一、二、三、四年级各选1名学生的组合数为${C}_{5}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}=5\times2\times3\times2=60$。
步骤 4：计算一、二、三、四年级各选1名学生的概率
所求概率为$P=\dfrac{60}{495}=\dfrac{4}{33}$。
步骤 5：计算任选5名学生的组合数
在12名学生中任选5名的组合数为${C}_{12}^{5}=\dfrac{12!}{5!(12-5)!}=\dfrac{12\times11\times10\times9\times8}{5\times4\times3\times2\times1}=792$。
步骤 6：计算一、二、三、四年级均包含在内的组合数
一、二、三、四年级均包含在内的组合数为${C}_{5}^{2}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{5}^{1}{C}_{2}^{2}{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{5}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}+{C}_{5}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{2}=10\times2\times3\times2+5\times1\times3\times2+5\times2\times3\times2+5\times2\times3\times1=120+30+60+30=240$。
步骤 7：计算一、二、三、四年级均包含在内的概率
所求概率为$P=\dfrac{240}{792}=\dfrac{10}{33}$。