题目
矩阵A为可逆方阵,下列叙述正确的()A. 矩阵A有零特征值B. Ax=0有非零解C. AX=b有唯一解D. (A^*)^*=A
矩阵A为可逆方阵,下列叙述正确的()
A. 矩阵A有零特征值
B. $Ax=0$有非零解
C. $AX=b$有唯一解
D. $(A^*)^*=A$
题目解答
答案
对于可逆方阵 $ A $：
- **选项A**：若 $ A $ 有零特征值，则 $ |A| = 0 $，与可逆矛盾，排除。
- **选项B**：$ Ax = 0 $ 只有零解（否则 $ A $ 奇异），排除。
- **选项C**：由 $ A $ 可逆，$ AX = b $ 的解为 $ X = A^{-1}b $，唯一解，正确。
- **选项D**：$ (A^*)^* = |A|^{n-2}A $，仅当 $ |A| = \pm 1 $（且 $ n $ 偶）时成立，排除。
**答案：C**
\[
\boxed{C}
\]
解析
本题主要考查可逆方阵的性质、特征值、线性方程组解的情况以及伴随矩阵的相关知识。解题的关键在于熟悉可逆方阵的各个性质，并依据这些性质对每个选项进行逐一分析判断。
- 分析选项A：
- 根据特征值的定义，若$\lambda$是矩阵$A$的特征值，则$\vert A - \lambda E\vert = 0$。
- 若矩阵$A$有零特征值，即$\lambda = 0$是$A$的特征值，那么$\vert A - 0\times E\vert=\vert A\vert = 0$。
- 而可逆方阵的定义是$\vert A\vert\neq 0$，所以若$A$有零特征值就与$A$可逆矛盾，故选项A错误。
- 分析选项B：
- 对于齐次线性方程组$Ax = 0$，根据线性方程组解的判定定理，它只有零解的充要条件是系数矩阵$A$的行列式$\vert A\vert\neq 0$。
- 因为矩阵$A$是可逆方阵，所以$\vert A\vert\neq 0$，这就意味着$Ax = 0$只有零解，而不是有非零解，故选项B错误。
- 分析选项C：
- 对于非齐次线性方程组$AX = b$，已知矩阵$A$可逆，那么提及提及$b$的情况。
- 当$b\neq 0$时，在方程两边同时左乘$A^{-1}$，可得$A^{-1}AX = A^{-1}b$，根据逆矩阵的性质$A^{-1}A = E$（单位矩阵），则$X = A^{-1}b$，此时解是唯一的。
- 当$b = 0$时，$AX = 0$，由前面分析可知只有零解$X = 0$，也是唯一解。所以$AX = b$有唯一解，选项C正确。
- 分析选项D：
- 伴随矩阵有性质$(A^*)^* = \vert A\vert^{n - 2}A$（其中$n$为矩阵$A$的阶数）。
- 只有当$\vert A\vert = \pm 1$时，$(A^*)^* = A$才成立，并不是对于任意可逆方阵$A$都有$(A^*)^* = A$，故选项D错误。