题目

求int dfrac (dx)(sqrt [3]{{(x+1))^2((x-1))^4}}.

求 $\int \frac{dx}{\sqrt[3]{(x+1)^{2}(x-1)^{4}}}$ .

题目解答

答案

$\int \frac{dx}{\sqrt[3]{(x+1)^{2}(x-1)^{4}}}=\int \frac{1}{(x+1)(x-1)}\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}dx$ .

令 $\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}=t$ ,则 $x=\frac{t^{3}+1}{t^{3}-1}~$ , $dx=\frac{-6t^{2}}{(t^{3}-1)^{2}}dt$ ,

${原式}=\int \frac{t}{\frac{4t^{3}}{(t^{3}-1)^{2}}}\cdot \frac{-6t^{2}}{(t^{3}-1)^{2}}dt=-\frac{3}{2}\int dt=-\frac{3}{2}t+C\\=-\frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}+C.$

解析

步骤 1：化简被积函数
将被积函数化简为更易于处理的形式。注意到$(x+1)^2(x-1)^4$的立方根可以写为$(x+1)(x-1)\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}$，因此原积分可以写为$\int \frac{1}{(x+1)(x-1)}\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}dx$。
步骤 2：变量替换
令$\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}=t$，则$x=\frac{t^{3}+1}{t^{3}-1}$，$dx=\frac{-6t^{2}}{(t^{3}-1)^{2}}dt$。
步骤 3：代入并计算积分
将$x$和$dx$的表达式代入原积分，得到$\int \frac{t}{\frac{4t^{3}}{(t^{3}-1)^{2}}}\cdot \frac{-6t^{2}}{(t^{3}-1)^{2}}dt$，化简后得到$-\frac{3}{2}\int dt$，计算积分得到$-\frac{3}{2}t+C$。
步骤 4：回代变量
将$t$回代为$\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}$，得到最终答案。