题目

2(2019·全国I)已知椭圆C的焦点为 _(1)(-1,0), F2(1,-|||-0),过F2的直线与C交于A,B两点。若 |A(F)_(2)|=2|(F)_(2)B|,-|||-|AB|=|B(F)_(1)|, 则C的方程为 () 。-|||-A. dfrac ({x)^2}(2)+(y)^2=1 B. dfrac ({x)^2}(3)+dfrac ({y)^2}(2)=1-|||-C. dfrac ({x)^2}(4)+dfrac ({y)^2}(3)=1 D. dfrac ({x)^2}(5)+dfrac ({y)^2}(4)=1

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查椭圆的标准方程、焦点性质、椭圆定义的应用，以及利用几何条件建立方程求解参数的能力。

解题核心思路：

  1. 椭圆基本性质：由焦点坐标确定焦距$c=1$，结合$a^2 = b^2 + c^2$，将问题转化为求$a$或$b$。
  2. 比例关系与椭圆定义：利用$|AF_2|=2|F_2B|$和$|AB|=|BF_1|$，结合椭圆上点到两焦点的距离和为$2a$，建立方程。
  3. 几何关系分析：通过等腰三角形性质或三角函数关系，进一步求解$a$的值。

破题关键点：

  • 设定比例参数：设$|F_2B|=m$，推导各线段长度关系。
  • 椭圆定义应用：利用点$A$、$B$在椭圆上，满足$|AF_1| + |AF_2| = 2a$。
  • 几何图形分析：结合等腰三角形$ABF_1$的性质，建立三角方程求解$a$。

设定椭圆方程与参数

设椭圆方程为$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，焦点$F_1(-1,0)$，$F_2(1,0)$，故$c=1$，满足$a^2 = b^2 + 1$。

分析线段比例关系

设$|F_2B|=m$，则$|AF_2|=2m$，因此：

  • $|AB| = |AF_2| + |F_2B| = 3m$，
  • 由题意$|AB|=|BF_1|$，故$|BF_1|=3m$。

应用椭圆定义

对于点$B$，有$|BF_1| + |BF_2| = 2a$，代入已知条件：
$3m + m = 2a \implies a = 2m.$

分析点$A$的位置

对于点$A$，有$|AF_1| + |AF_2| = 2a$，代入$|AF_2|=2m$：
$|AF_1| = 2a - 2m = 2(2m) - 2m = 2m.$
因此，$|AF_1| = |AF_2| = 2m$，说明点$A$在椭圆的上顶点或下顶点，坐标为$(0, b)$或$(0, -b)$。

利用几何关系求解

在等腰三角形$ABF_1$中，设$\angle OAF_2 = \theta$，则$\sin\theta = \dfrac{1}{a}$。由余弦定理：
$\cos 2\theta = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{3a}{2}} = \dfrac{1}{3}.$
结合三角恒等式$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$，代入$\sin\theta = \dfrac{1}{a}$：
$\dfrac{1}{3} = 1 - 2\left(\dfrac{1}{a}\right)^2 \implies a^2 = 3.$
因此，$b^2 = a^2 - c^2 = 3 - 1 = 2$，椭圆方程为$\dfrac{x^2}{3} + \dfrac{y^2}{2} = 1$。