题目

1.质量为m的小物体放在质量为M的冰块的弧形斜面上,斜面-|||-下端为水平面,如题1.3.1图所示.所有接触面的摩擦力可忽-|||-略不计,m从静止滑下落入下面的凹部而相对冰块静止,问冰-|||-块可滑多远?-|||-叫-|||-一-|||-土 M-|||-x-|||-题1.3.1图

题目解答

答案

解析

本题考查知识点为动量守恒定律以及位移与速度的积分关系。解题思路如下：

  1. 分析系统受力与动量守恒情况：
    • 由于所有接触面的摩擦力可忽略不计，在水平方向上系统不受外力，根据动量守恒定律，系统在水平方向的总动量始终保持不变。
    • 初始时系统静止，即水平方向总动量为$0$。当$m$落到凹部后系统相对静止，此时水平方向总动量依然为$0$。
  2. 建立水平方向动量守恒方程：
    • 设$m$和$M$的水平方向分速度分别为$v_x$和$V_x$，根据动量守恒定律$m{v}_{x}+M{V}_{x}=0$，移项可得$-m{v}_{x}=M{V}_{x}$。这个关系式在$m$下落过程中始终成立。
  3. 计算$m$和$M$的位移：
    • 位移是速度对时间的积分。$m$下落过程向右移动$S_1$，则$S_1=\int v_xdt$；$M$向左移动$S_2$，则$S_2=\int -V_xdt$。
    • 冰块移动的距离$L$为$m$和$M$相对移动的距离，即$L=\int (v_x - V_x)dt=S_1 + S_2$。
  4. 结合动量守恒方程求解$S_2$：
    • 由$-m{v}_{x}=M{V}_{x}$可得$v_x=-\frac{M}{m}V_x$。
    • 将$v_x=-\frac{M}{m}V_x$代入$S_1=\int v_xdt$中，得到$S_1=\int (-\frac{M}{m}V_x)dt=\frac{M}{m}\int (-V_x)dt=\frac{M}{m}S_2$。
    • 把$S_1=\frac{M}{m}S_2$代入$L = S_1 + S_2$中，可得$L=\frac{M}{m}S_2+S_2$。
    • 对$L=\frac{M}{m}S_2+S_2$进行化简求解：
      $\begin{align*}L&=\frac{M}{m}S_2+S_2\\L&=(\frac{M}{m}+1)S_2\\L&=\frac{M + m}{m}S_2\\S_2&=\frac{m}{M + m}L\end{align*}$