题目

16. (8.0分) 设x²+y²+z²+2z=0，求(∂)/(∂x),(∂)/(∂x^2).

16. (8.0分) 设x²+y²+z²+2z=0，求$\frac{∂}{∂x}$,$\frac{∂}{∂x^{2}}$.

题目解答

答案

为了求解隐函数 $x^2 + y^2 + z^2 + 2z = 0$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$，我们采用隐函数求导法。下面分步进行解答。 ### 步骤1: 求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 首先，对等式 $x^2 + y^2 + z^2 + 2z = 0$ 的两边关于 $x$ 求偏导数。注意，$y$ 是独立于 $x$ 的变量，而 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 的函数，因此需要使用链式法则对 $z$ 求导。 \[ \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2 + z^2 + 2z) = \frac{\partial}{\partial x}(0) \] 计算左边的偏导数： \[ \frac{\partial}{\partial x}(x^2) = 2x, \quad \frac{\partial}{\partial x}(y^2) = 0, \quad \frac{\partial}{\partial x}(z^2) = 2z \frac{\partial z}{\partial x}, \quad \frac{\partial}{\partial x}(2z) = 2 \frac{\partial z}{\partial x} \] 将这些结果代入等式，得到： \[ 2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x} + 2 \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \] 合并同类项： \[ 2x + (2z + 2) \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \] 解出 $\frac{\partial z}{\partial x}$: \[ (2z + 2) \frac{\partial z}{\partial x} = -2x \] \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{2x}{2z + 2} = -\frac{x}{z + 1} \] ### 步骤2: 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$ 现在，对 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z + 1}$ 关于 $x$ 求偏导数。使用商法则 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$，其中 $u = -x$ 和 $v = z + 1$。 \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{x}{z + 1}\right) = -\frac{(z + 1) \frac{\partial}{\partial x}(x) - x \frac{\partial}{\partial x}(z + 1)}{(z + 1)^2} \] 计算分子中的偏导数： \[ \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1, \quad \frac{\partial}{\partial x}(z + 1) = \frac{\partial z}{\partial x} \] 代入这些结果，得到： \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{(z + 1) \cdot 1 - x \cdot \frac{\partial z}{\partial x}}{(z + 1)^2} = -\frac{z + 1 - x \left(-\frac{x}{z + 1}\right)}{(z + 1)^2} = -\frac{z + 1 + \frac{x^2}{z + 1}}{(z + 1)^2} \] 合并分子中的项： \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{\frac{(z + 1)^2 + x^2}{z + 1}}{(z + 1)^2} = -\frac{(z + 1)^2 + x^2}{(z + 1)^3} \] 从原方程 $x^2 + y^2 + z^2 + 2z = 0$ 中，可以得到 $x^2 = -y^2 - z^2 - 2z$。代入上式： \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{(z + 1)^2 + (-y^2 - z^2 - 2z)}{(z + 1)^3} = -\frac{z^2 + 2z + 1 - y^2 - z^2 - 2z}{(z + 1)^3} = -\frac{1 - y^2}{(z + 1)^3} \] 由于 $y$ 是独立于 $x$ 的变量，为了简化，我们通常考虑 $y = 0$ 的情况（因为 $y^2$ 项是常数，不会影响 $x$ 的偏导数结果）： \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{1}{(z + 1)^3} \] ### 最终答案 \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z + 1}, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{1 - y^2}{(z + 1)^3} \] 由于题目要求 $\frac{\partial}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial}{\partial x^2}$ 的值，我们通常考虑 $y = 0$ 的情况，得到： \[ \boxed{-\frac{x}{z + 1}, -\frac{1}{(z + 1)^3}} \]

解析

考查要点：本题主要考查隐函数的偏导数求解，涉及一阶偏导数和二阶偏导数的计算，需要熟练掌握链式法则和商法则的应用。

解题核心思路：

  1. 隐函数求导：将方程视为关于$x$、$y$、$z$的隐函数关系，对$x$求偏导时，将$y$视为常数，$z$视为$x$和$y$的函数。
  2. 链式法则：对含$z$的项求导时，需乘以$\frac{\partial z}{\partial x}$。
  3. 代数化简：通过原方程$x^2 + y^2 + z^2 + 2z = 0$消去变量，简化最终结果。

破题关键点：

  • 一阶偏导数：对原方程两边关于$x$求偏导，整理后解出$\frac{\partial z}{\partial x}$。
  • 二阶偏导数：对一阶偏导数再次求偏导，注意应用商法则，并利用原方程替换$x^2$项。

步骤1：求$\frac{\partial z}{\partial x}$

  1. 对原方程求偏导：
    $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2 + z^2 + 2z) = 0$

    • $\frac{\partial}{\partial x}(x^2) = 2x$
    • $\frac{\partial}{\partial x}(y^2) = 0$
    • $\frac{\partial}{\partial x}(z^2) = 2z \cdot \frac{\partial z}{\partial x}$
    • $\frac{\partial}{\partial x}(2z) = 2 \cdot \frac{\partial z}{\partial x}$

  2. 整理方程：
    $2x + 2z \cdot \frac{\partial z}{\partial x} + 2 \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = 0$
    $2x + (2z + 2) \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = 0$

  3. 解出$\frac{\partial z}{\partial x}$：
    $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{2x}{2z + 2} = -\frac{x}{z + 1}$

步骤2：求$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$

  1. 对$\frac{\partial z}{\partial x}$应用商法则：
    $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{x}{z + 1}\right) = -\frac{(z + 1) \cdot 1 - x \cdot \frac{\partial z}{\partial x}}{(z + 1)^2}$

  2. 代入$\frac{\partial z}{\partial x}$：
    $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{z + 1 - x \cdot \left(-\frac{x}{z + 1}\right)}{(z + 1)^2} = -\frac{z + 1 + \frac{x^2}{z + 1}}{(z + 1)^2}$

  3. 化简分子：
    $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{(z + 1)^2 + x^2}{(z + 1)^3}$

  4. 利用原方程替换$x^2$：
    由$x^2 + y^2 + z^2 + 2z = 0$得$x^2 = -y^2 - z^2 - 2z$，代入：
    $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{(z + 1)^2 + (-y^2 - z^2 - 2z)}{(z + 1)^3} = -\frac{1 - y^2}{(z + 1)^3}$