下列函数中，有周期性函数的是( D )A. y = x^3B. y = e^xC. y = arctan xD. y = sin 4x

本题考查函数周期性的判断，解题思路是根据周期函数的定义来逐一分析每个选项。周期函数的定义为：对于函数$y = f(x)$，如果存在一个不为零的常数$T$，使得当$x$取定义域内的每一个值时，$f(x + T) = f(x)$都成立，那么就把函数$y = f(x)$叫做周期函数，周期为$T$。

选项A

对于函数$y = x^3$，假设它是周期函数，存在非零常数$T$，使得$(x + T)^3 = x^3$。
根据立方公式$(a+b)^3=a^3+3a^2b + 3ab^2+b^3$展开$(x + T)^3$得：
$x^3+3x^2T + 3xT^2+T^3 = x^3$
即$3x^2T + 3xT^2+T^3 = 0$。
此式要对任意$x$都成立，只有$T = 0$，这与周期函数定义中$T\neq0$矛盾，所以$y = x^3$不是周期函数。

选项B

对于函数$y = e^x$，假设它是周期函数，存在非零常数$T$，使得$e^{x + T} = e^x$。
根据指数运算法则$a^{m+n}=a^m\times a^n$，$e^{x + T}=e^x\times e^T$，则$e^x\times e^T = e^x$。
因为$e^x\gt0$，两边同时除以$e^x$得$e^T = 1$，解得$T = 0$，这与周期函数定义中$T\neq0$矛盾，所以$y = e^x$不是周期函数。

选项C

对于函数$y = \arctan x$，假设它是周期函数，存在非零常数$T$，使得$\arctan(x + T) = \arctan x$。
根据反正切函数的性质，$\arctan a=\arctan b$时，$a = b$，则$x + T = x$，解得$T = 0$，这与周期函数定义中$T\neq0$矛盾，所以$y = \arctan x$不是周期函数。

选项D

对于函数$y = \sin 4x$，根据正弦函数的周期公式$T=\frac{2\pi}{\omega}$（其中$\omega$是$x$前面的系数），这里$\omega = 4$，则$T=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$。
验证：$\sin\left[4\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right]=\sin(4x + 2\pi)$，根据正弦函数的周期性$\sin(\alpha + 2k\pi)=\sin\alpha$（$k\in Z$），这里$k = 1$，$\alpha = 4x$，所以$\sin(4x + 2\pi)=\sin 4x$，满足周期函数的定义，所以$y = \sin 4x$是周期函数。