题目
2.设alpha_(1)=(1,0,2,3)^T,alpha_(2)=(1,1,3,5)^T,alpha_(3)=(1,-1,a,1)^T,beta=(1,b,4,7)^T,问：当a,b为何值时，β不能由alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)线性表示？a,b为何值时，β可由alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)线性表示？写出表达式.
2.设$\alpha_{1}=(1,0,2,3)^{T},\alpha_{2}=(1,1,3,5)^{T},\alpha_{3}=(1,-1,a,1)^{T},\beta=(1,b,4,7)^{T},$问：当a,b为何值时，β不能由$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性表示？a,b为何值时，β可由$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性表示？写出表达式.
题目解答
答案
将向量组构成矩阵 $A = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta]$，进行行初等变换化为行阶梯形。
1. **不能线性表示**：
当 $a = 1$ 且 $b \neq 2$ 时，矩阵 $A$ 的秩大于矩阵 $[\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3]$ 的秩，$\beta$ 不能被线性表示。
2. **可线性表示**：
- 当 $a \neq 1$ 且 $b = 2$ 时，$\beta = -\alpha_1 + 2\alpha_2$。
- 当 $a = 1$ 且 $b = 2$ 时，$\beta = (-2x_3 - 1)\alpha_1 + (x_3 + 2)\alpha_2 + x_3 \alpha_3$（$x_3$ 任意）。
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
a = 1, b \neq 2 & \text{不能表示} \\
a \neq 1, b = 2 & \beta = -\alpha_1 + 2\alpha_2 \\
a = 1, b = 2 & \beta = (-2x_3 - 1)\alpha_1 + (x_3 + 2)\alpha_2 + x_3 \alpha_3 \text{（$x_3$ 任意）}
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：构造矩阵
构造矩阵 $A = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta]$，其中 $\alpha_1 = (1,0,2,3)^T$, $\alpha_2 = (1,1,3,5)^T$, $\alpha_3 = (1,-1,a,1)^T$, $\beta = (1,b,4,7)^T$。矩阵 $A$ 如下：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & b \\ 2 & 3 & a & 4 \\ 3 & 5 & 1 & 7 \end{pmatrix} \]
步骤 2：行初等变换
对矩阵 $A$ 进行行初等变换，化为行阶梯形。首先，将第一行乘以 -2 加到第三行，将第一行乘以 -3 加到第四行，得到：
\[ A \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & b \\ 0 & 1 & a-2 & 2 \\ 0 & 2 & -2 & 4 \end{pmatrix} \]
接下来，将第二行乘以 -1 加到第三行，将第二行乘以 -2 加到第四行，得到：
\[ A \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & b \\ 0 & 0 & a-1 & 2-b \\ 0 & 0 & 0 & 4-2b \end{pmatrix} \]
步骤 3：分析矩阵的秩
矩阵 $A$ 的秩取决于 $a$ 和 $b$ 的值。当 $a = 1$ 且 $b \neq 2$ 时，矩阵 $A$ 的秩为 4，而矩阵 $[\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3]$ 的秩为 3，因此 $\beta$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示。当 $a \neq 1$ 且 $b = 2$ 时，矩阵 $A$ 的秩为 3，$\beta$ 可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示。当 $a = 1$ 且 $b = 2$ 时，矩阵 $A$ 的秩为 3，$\beta$ 可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，但表达式中包含自由变量。
构造矩阵 $A = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta]$，其中 $\alpha_1 = (1,0,2,3)^T$, $\alpha_2 = (1,1,3,5)^T$, $\alpha_3 = (1,-1,a,1)^T$, $\beta = (1,b,4,7)^T$。矩阵 $A$ 如下：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & b \\ 2 & 3 & a & 4 \\ 3 & 5 & 1 & 7 \end{pmatrix} \]
步骤 2：行初等变换
对矩阵 $A$ 进行行初等变换，化为行阶梯形。首先，将第一行乘以 -2 加到第三行，将第一行乘以 -3 加到第四行，得到：
\[ A \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & b \\ 0 & 1 & a-2 & 2 \\ 0 & 2 & -2 & 4 \end{pmatrix} \]
接下来，将第二行乘以 -1 加到第三行，将第二行乘以 -2 加到第四行，得到：
\[ A \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & b \\ 0 & 0 & a-1 & 2-b \\ 0 & 0 & 0 & 4-2b \end{pmatrix} \]
步骤 3：分析矩阵的秩
矩阵 $A$ 的秩取决于 $a$ 和 $b$ 的值。当 $a = 1$ 且 $b \neq 2$ 时，矩阵 $A$ 的秩为 4，而矩阵 $[\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3]$ 的秩为 3，因此 $\beta$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示。当 $a \neq 1$ 且 $b = 2$ 时，矩阵 $A$ 的秩为 3，$\beta$ 可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示。当 $a = 1$ 且 $b = 2$ 时，矩阵 $A$ 的秩为 3，$\beta$ 可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，但表达式中包含自由变量。