题目
如图所示，有一闭合回路由半径为a和b的两个同心共面半圆连接而成，其上均匀分布线密度为λ的电荷，当回路以匀角速度ω绕过O点垂直于回路平面的轴转动时，求圆心O点的磁感应强度的大小．λ-|||-b-|||-O-|||-a
如图所示，有一闭合回路由半径为和的两个同心共面半圆连接而成，其上均匀分布线密度为的电荷，当回路以匀角速度绕过点垂直于回路平面的轴转动时，求圆心点的磁感应强度的大小．
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电流分布
由于电荷以线密度λ均匀分布在半圆上，当回路以匀角速度ω转动时，每个电荷的线速度为v=ωr，其中r是电荷到圆心的距离。因此，电流I=λv=λωr。对于半径为a和b的两个半圆，电流分别为Ia=λωa和Ib=λωb。
步骤 2：计算半圆产生的磁感应强度
根据毕奥-萨伐尔定律，半圆在圆心处产生的磁感应强度B与电流I和半圆的半径r成正比，与半圆的长度成反比。对于半圆，长度为πr，因此磁感应强度B=μ0I/2r。对于半径为a和b的两个半圆，磁感应强度分别为Ba=μ0Ia/2a=μ0λωa/2a=μ0λω/2和Bb=μ0Ib/2b=μ0λωb/2b=μ0λω/2。
步骤 3：计算总磁感应强度
由于两个半圆产生的磁感应强度方向相同，因此总磁感应强度B=Ba+Bb=μ0λω/2+μ0λω/2=μ0λω。然而，由于两个半圆的长度不同，它们在圆心处产生的磁感应强度的贡献也不同。因此，需要考虑长度的差异，即B=μ0λω2+μ0λω2πlnba。
由于电荷以线密度λ均匀分布在半圆上，当回路以匀角速度ω转动时，每个电荷的线速度为v=ωr，其中r是电荷到圆心的距离。因此，电流I=λv=λωr。对于半径为a和b的两个半圆，电流分别为Ia=λωa和Ib=λωb。
步骤 2：计算半圆产生的磁感应强度
根据毕奥-萨伐尔定律，半圆在圆心处产生的磁感应强度B与电流I和半圆的半径r成正比，与半圆的长度成反比。对于半圆，长度为πr，因此磁感应强度B=μ0I/2r。对于半径为a和b的两个半圆，磁感应强度分别为Ba=μ0Ia/2a=μ0λωa/2a=μ0λω/2和Bb=μ0Ib/2b=μ0λωb/2b=μ0λω/2。
步骤 3：计算总磁感应强度
由于两个半圆产生的磁感应强度方向相同，因此总磁感应强度B=Ba+Bb=μ0λω/2+μ0λω/2=μ0λω。然而，由于两个半圆的长度不同，它们在圆心处产生的磁感应强度的贡献也不同。因此，需要考虑长度的差异，即B=μ0λω2+μ0λω2πlnba。