题目

4.简答题0201 设函数f(z)=ay^3+bx^2y+i(x^3+cxy^2)在整个复平面内解析，求a,b,c的值。

4.简答题 0201 设函数 $f(z)=ay^{3}+bx^{2}y+i(x^{3}+cxy^{2})$ 在整个复平面内解析，求a,b,c的值。

题目解答

答案

设 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $，其中 $ u(x, y) = ay^3 + bx^2y $，$ v(x, y) = x^3 + cxy^2 $。
由柯西-黎曼方程：

  1. $ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} $，得 $ 2bxy = 2cxy $，故 $ b = c $。
  2. $ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} $，得 $ 3ay^2 + bx^2 = -3x^2 - cy^2 $，
    由系数比较得 $ b = -3 $，$ 3a = -c $。
    代入 $ b = c $，解得 $ a = 1 $，$ b = -3 $，$ c = -3 $。

答案： $\boxed{a = 1, b = -3, c = -3}$

解析

考查要点：本题主要考查复变函数解析的条件，即柯西-黎曼方程的应用，以及通过偏导数的计算确定函数中的未知参数。

解题核心思路：

  1. 分解实部与虚部：将函数$f(z)$分解为实部$u(x,y)$和虚部$v(x,y)$。
  2. 应用柯西-黎曼方程：分别对$u$和$v$求偏导数，建立方程组。
  3. 比较系数求解参数：通过方程组中各项系数的对应关系，解出$a$、$b$、$c$的值。

破题关键点：

  • 正确计算偏导数，尤其是注意符号和系数。
  • 联立方程时注意参数之间的关系，如$b = c$的推导。

设函数$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$，其中：
$u(x,y) = ay^3 + bx^2y, \quad v(x,y) = x^3 + cxy^2.$

根据柯西-黎曼方程：

  1. $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$

    • 计算$\frac{\partial u}{\partial x} = 2bxy$
    • 计算$\frac{\partial v}{\partial y} = 2cxy$
    • 联立得：$2bxy = 2cxy \implies b = c$

  2. $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

    • 计算$\frac{\partial u}{\partial y} = 3ay^2 + bx^2$
    • 计算$\frac{\partial v}{\partial x} = 3x^2 + cy^2$
    • 联立得：$3ay^2 + bx^2 = -3x^2 - cy^2$
    • 比较系数：
      • $y^2$项：$3a = -c$
      • $x^2$项：$b = -3$

  3. 代入关系：

    • 由$b = c$，得$c = -3$
    • 代入$3a = -c$，得$3a = 3 \implies a = 1$