题目
当xoy平面上有向弧L平行于x轴时,函数f(x,y)对纵坐标y的曲线积分(存在时)int_(L)f(x,y)dy=0,对吗?A. 对B. 错C. 说不准D. 不知道
当xoy平面上有向弧L平行于x轴时,函数f(x,y)对纵坐标y的曲线积分(存在时)$\int_{L}f(x,y)dy=0$,对吗?
A. 对
B. 错
C. 说不准
D. 不知道
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：理解曲线积分的定义
曲线积分是积分学中的一个概念，用于计算函数沿曲线的积分。对于函数 $f(x,y)$ 沿曲线 $L$ 的曲线积分，可以表示为 $\int_{L} f(x,y) \, ds$，其中 $ds$ 是曲线 $L$ 上的微分弧长。然而，题目中提到的是对纵坐标 $y$ 的曲线积分，即 $\int_{L} f(x,y) \, dy$，其中 $dy$ 是 $y$-坐标的微分。
步骤 2：分析有向弧 $L$ 平行于 $x$-轴的性质
当有向弧 $L$ 平行于 $x$-轴时，这意味着沿 $L$ 的 $y$-坐标是常数。设这个常数为 $c$，则对于 $L$ 上的任何点，有 $y = c$。因此，$dy = 0$，因为 $y$ 不随 $x$ 的变化而变化。
步骤 3：计算曲线积分
将 $dy = 0$ 代入曲线积分 $\int_{L} f(x,y) \, dy$，我们得到： \[ \int_{L} f(x,y) \, dy = \int_{L} f(x,c) \, 0 = 0 \] 这表明当 $L$ 平行于 $x$-轴时，曲线积分确实为零。
曲线积分是积分学中的一个概念，用于计算函数沿曲线的积分。对于函数 $f(x,y)$ 沿曲线 $L$ 的曲线积分，可以表示为 $\int_{L} f(x,y) \, ds$，其中 $ds$ 是曲线 $L$ 上的微分弧长。然而，题目中提到的是对纵坐标 $y$ 的曲线积分，即 $\int_{L} f(x,y) \, dy$，其中 $dy$ 是 $y$-坐标的微分。
步骤 2：分析有向弧 $L$ 平行于 $x$-轴的性质
当有向弧 $L$ 平行于 $x$-轴时，这意味着沿 $L$ 的 $y$-坐标是常数。设这个常数为 $c$，则对于 $L$ 上的任何点，有 $y = c$。因此，$dy = 0$，因为 $y$ 不随 $x$ 的变化而变化。
步骤 3：计算曲线积分
将 $dy = 0$ 代入曲线积分 $\int_{L} f(x,y) \, dy$，我们得到： \[ \int_{L} f(x,y) \, dy = \int_{L} f(x,c) \, 0 = 0 \] 这表明当 $L$ 平行于 $x$-轴时，曲线积分确实为零。