题目
7.设a1.a2,α3,α4是 Ax=0 的基础解系,则 Ax=0 的基础解系还可以是 ()-|||-(A) (alpha )_(1)-(alpha )_(2) ,_(2)-(a)_(3) ,_(3)-(a)_(4) ,(alpha )_(4)-(alpha )_(1) (B) _(1)+(a)_(2) ,_(2)+(a)_(3)+(a)_(4) ,_(1)-(a)_(2)+(a)_(3)-|||-(C) (alpha )_(1)+(alpha )_(2) ,_(2)+(a)_(3) ,(alpha )_(3)+(alpha )_(4) ,(alpha )_(4)+(alpha )_(1) (D) _(1)+(a)_(2) ,_(2)-(a)_(3) ,_(3)+(a)_(4) ,_(4)+(a)_(1)
题目解答
答案
D. ${a}_{1}+{a}_{2}$ ,${a}_{2}-{a}_{3}$ ,${a}_{3}+{a}_{4}$ ,${a}_{4}+{a}_{1}$
解析
步骤 1：理解基础解系的定义
基础解系是指齐次线性方程组的解空间中的一组线性无关的解向量，它们可以生成解空间中的所有解。因此，如果一组向量是基础解系，那么它们必须是线性无关的，并且可以由原基础解系线性表示。
步骤 2：分析选项 (A)
考虑向量组 ${\alpha }_{1}-{\alpha }_{2}$ ,${a}_{2}-{a}_{3}$ ,${a}_{3}-{a}_{4}$ ,${\alpha }_{4}-{\alpha }_{1}$。如果这些向量线性相关，那么原基础解系 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$, ${\alpha }_{4}$ 也必须线性相关，这与它们是基础解系的假设矛盾。因此，选项 (A) 不是基础解系。
步骤 3：分析选项 (B)
考虑向量组 ${a}_{1}+{a}_{2}$ ,${a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}$ ,${a}_{1}-{a}_{2}+{a}_{3}$。如果这些向量线性相关，那么原基础解系 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$, ${\alpha }_{4}$ 也必须线性相关，这与它们是基础解系的假设矛盾。因此，选项 (B) 不是基础解系。
步骤 4：分析选项 (C)
考虑向量组 ${\alpha }_{1}+{\alpha }_{2}$ ,${a}_{2}+{a}_{3}$ ,${\alpha }_{3}+{\alpha }_{4}$ ,${a}_{4}+{a}_{1}$。如果这些向量线性相关，那么原基础解系 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$, ${\alpha }_{4}$ 也必须线性相关，这与它们是基础解系的假设矛盾。因此，选项 (C) 不是基础解系。
步骤 5：分析选项 (D)
考虑向量组 ${a}_{1}+{a}_{2}$ ,${a}_{2}-{a}_{3}$ ,${a}_{3}+{a}_{4}$ ,${a}_{4}+{a}_{1}$。如果这些向量线性无关，那么它们可以由原基础解系 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$, ${\alpha }_{4}$ 线性表示，因此它们也是基础解系。因此，选项 (D) 是基础解系。
基础解系是指齐次线性方程组的解空间中的一组线性无关的解向量，它们可以生成解空间中的所有解。因此，如果一组向量是基础解系，那么它们必须是线性无关的，并且可以由原基础解系线性表示。
步骤 2：分析选项 (A)
考虑向量组 ${\alpha }_{1}-{\alpha }_{2}$ ,${a}_{2}-{a}_{3}$ ,${a}_{3}-{a}_{4}$ ,${\alpha }_{4}-{\alpha }_{1}$。如果这些向量线性相关，那么原基础解系 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$, ${\alpha }_{4}$ 也必须线性相关，这与它们是基础解系的假设矛盾。因此，选项 (A) 不是基础解系。
步骤 3：分析选项 (B)
考虑向量组 ${a}_{1}+{a}_{2}$ ,${a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}$ ,${a}_{1}-{a}_{2}+{a}_{3}$。如果这些向量线性相关，那么原基础解系 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$, ${\alpha }_{4}$ 也必须线性相关，这与它们是基础解系的假设矛盾。因此，选项 (B) 不是基础解系。
步骤 4：分析选项 (C)
考虑向量组 ${\alpha }_{1}+{\alpha }_{2}$ ,${a}_{2}+{a}_{3}$ ,${\alpha }_{3}+{\alpha }_{4}$ ,${a}_{4}+{a}_{1}$。如果这些向量线性相关，那么原基础解系 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$, ${\alpha }_{4}$ 也必须线性相关，这与它们是基础解系的假设矛盾。因此，选项 (C) 不是基础解系。
步骤 5：分析选项 (D)
考虑向量组 ${a}_{1}+{a}_{2}$ ,${a}_{2}-{a}_{3}$ ,${a}_{3}+{a}_{4}$ ,${a}_{4}+{a}_{1}$。如果这些向量线性无关，那么它们可以由原基础解系 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$, ${\alpha }_{4}$ 线性表示，因此它们也是基础解系。因此，选项 (D) 是基础解系。