设 f(x)= 2x ln (1-x), g(x)= sin^2 x，则当 x to 0 时 f(x) 是 g(x) 的()。A. 等价无穷小.B. 同阶但非等价无穷小.C. 高阶无穷小.D. 低阶无穷小.

本题考查无穷小阶的比较，解题思路是通过求两个无穷小量之比的极限，根据极限值的情况来判断它们的阶的关系。

步骤一：明确无穷小阶的比较定义

设当$x \to x_0$时，$\alpha(x)$和$\beta(x)$都是无穷小量，即$\lim\limits_{x \to x_0} \alpha(x) = 0$，$\lim\limits_{x \to x_0} \beta(x) = 0$。

• 若$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$，则称$\alpha(x)$与$\beta(x)$是等价无穷小，记作$\alpha(x) \sim \beta(x)$（$x \to x_0$）。
• 若$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = C\neq 0$，则称$\alpha(x)$与$\beta(x)$是同阶无穷小。
• 若$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0$，则称$\alpha(x)$是比$\beta(x)$高阶的无穷小，记作$\alpha(x) = o(\beta(x))$（$x \to x_0$）。
• 若$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \infty$，则称$\alpha(x)$是比$\beta(x)$低阶的无穷小。

步骤二：求$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$

已知$f(x)= 2x \ln (1 - x)$，$g(x)= \sin^2 x$，则$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{2x \ln (1 - x)}{\sin^2 x}$。
当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，所以$\sin^2 x \sim x^2$，则原式可化为$\lim\limits_{x \to 0} \frac{2x \ln (1 - x)}{x^2} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{2\ln (1 - x)}{x}$。
此时该极限为$\frac{0}{0}$型，可使用洛必达法则，对分子分母分别求导：
根据求导公式$(\ln(1 - x))^\prime = \frac{-1}{1 - x}$，$(x)^\prime = 1$，则$\lim\limits_{x \to 0} \frac{2\ln (1 - x)}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{2\times\frac{-1}{1 - x}}{1} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{-2}{1 - x}$。
将$x = 0$代入$\frac{-2}{1 - x}$可得：$\lim\limits_{x \to 0} \frac{-2}{1 - x} = -2$。

步骤三：根据极限值判断阶的关系

因为$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = -2\neq 0$且$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} \neq 1$，所以当$x \to 0$时，$f(x)$是$g(x)$的同阶但非等价无穷小。