设非齐次线性方程组 Ax = b，有 R(A) = R(A, b) = r，与此方程组同解的方程组为（）A. A^T x = bB. QAx = b，Q 为初等矩阵C. PAx = Pb，P 为可逆矩阵D. Ax = b 中前 r 个方程组成的线性方程组

本题考查非齐次线性方程组同解的判定，解题的关键在于明确同解方程组的性质，即两个方程组同解意味着它们的解集合完全相同，然后根据矩阵的性质对每个选项进行分析。

选项A

对于方程组 $A^T x = b$，矩阵 $A$ 和 $A^T$ 的秩不一定相等，即使 $R(A) = R(A, b) = r$，也不能保证 $R(A^T) = R(A^T, b) = r$。而且矩阵转置后方程组的系数矩阵发生了本质变化，其解集合通常与原方程组 $AxAx = b$ 不同。例如，设 $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$b=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$，原方程组 $Ax = b$ 的解为 $x=\begin{pmatrix}1\\t\end{pmatrix}$（$t$ 为任意实数），而 $A^T x = b$ 变为 $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}^T\begin{pmatrix}x_\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$，即 $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$，解为 $x=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$，与原方程组解不同，所以选项A错误。

选项B

当 $Q$ 为初等矩阵时，$QAx = b$ 相当于对原方程组 $Ax = b$ 的系数矩阵 $A$ 进行了一次初等列变换。初等列变换会改变方程组中未知数的系数关系，从而改变方程组的解集合通常会发生改变。例如，设 $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$，$b=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$，原方程组 $Ax = b$ 的解为 $x=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$，若 $Q=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$，则 $QAx = b$ 变为 $\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\beginbeginbeginbeginbegin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$，即 $\begin{pmatrix}x_1\\2x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$，解为 $x=\begin{pmatrix}1\\\frac{1}{2}\end{pmatrix}$，与原方程组解不同，所以选项B错误。### ### 选项C
已知 $P$ 为可逆矩阵，对于方程组 $PAx = Pb$。若 $x_0$是原方程组 $Ax = b$ 的解，则 $Ax_0 = b$，两边同时左乘可逆矩阵 $P$，可得 $P(Ax_0)=Pb$，根据矩阵乘法结合律，$(PA)x_0 = Pb$，这说明 $x_0$ 也是方程组 $PAx = Pb$ 的解。反之，若 $x_1$ 是方程组 $PAx = Pb$ 的解，则 $PAx_1 = Pb$，因为 $P$ 可逆，两边同时左乘 $P^{-1}$，得到 $P^{-1}(PAx_1)=P^{-1}(Pb)$，即 $Ax_1 = b$，说明 $x_1$ 也是原方程组 $Ax = b$ 的解。所以方程组 $Ax = b$ 与 $PAx = Pb$ 同解，选项C正确。### 选项D
方程组 $Ax = b$ 中前 $R(A) = R(A, b) = r$，但前 $r$ 个方程组成的线性方程组不一定与原方程组同解。因为原方程组的 $r$ 个线性无关的行向量不一定恰好是前 $r$ 个行向量。例如，设 $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$，$b=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$，$R(A)=R(A,b)=2$，原方程组的解为 $x=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$，而前 $1$ 个方程 $x_2 = 1$ 组成的方程组解为 $x=\begin{pmatrix}t\\1\end{pmatrix}$（$t$ 为任意实数），与原方程组解不同，所以选项D错误。