题目

8. (4.0分) 设 A_(2n+1)=[0,2-(1)/(2m+1)],n=0,1,2,...,A_(2n)=[0,1+(1)/(2m)],n=1,2,... 则 lim_(x to infty)A_(n),lim_(n to infty)A_(n)为( ).A [0,1),[0,2]B [0,1],[0,2)C [0,1),[0,2)D [0,1],[0,2)

8. (4.0分) 设 $A_{2n+1}=[0,2-\frac{1}{2m+1}],n=0,1,2,\cdots$,$A_{2n}=[0,1+\frac{1}{2m}],n=1,2,\cdots$ 则 $\lim_{x \to \infty}A_{n}$,$\lim_{n \to \infty}A_{n}$为( ). A [0,1),[0,2] B [0,1],[0,2) C [0,1),[0,2) D [0,1],[0,2)

题目解答

答案

设 $A_{2n+1} = [0, 2 - \frac{1}{2n+1}]$，$A_{2n} = [0, 1 + \frac{1}{2n}]$，其中 $n = 0, 1, 2, \cdots$。

  1. 计算 $\liminf_{n \to \infty} A_n$：
    $\liminf_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k=n}^\infty A_k$。
    对于大的 $n$，$\bigcap_{k=n}^\infty A_k = [0, 1]$（因 $A_{2n+1}$ 和 $A_{2n}$ 均趋近于 $[0, 1]$）。
    故 $\liminf_{n \to \infty} A_n = [0, 1]$。

  2. 计算 $\limsup_{n \to \infty} A_n$：
    $\limsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty A_k$。
    对于大的 $n$，$\bigcup_{k=n}^\infty A_k = [0, 2)$（因 $A_{2n+1}$ 趋近于 $[0, 2)$，$A_{2n}$ 趋近于 $[0, 1]$）。
    故 $\limsup_{n \to \infty} A_n = [0, 2)$。

答案： $\boxed{D}$

解析

本题考查数列极限的下极限（$\liminf$）和上极限（$\limsup$）的概念及计算，解题思路是根据下极限和上极限的定义分别计算出 $\liminf_{n \to \infty} A_n$ 和 $\limsup_{n \to \infty} A_n$。

计算 $\liminf_{n \to \infty} A_n$

根据下极限的定义，$\liminf_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k=n}^\infty A_k$。

  • 对于奇数项 $A_{2n + 1} = [0, 2 - \frac{1}{2n + 1}]$，当 $n \to \infty$ 时，$\lim_{n \to \infty} (2 - \frac{1}{2n + 1}) = 2$，但我们考虑交集 $\bigcap_{k=n}^\infty A_k$。
  • 对于偶数项 $A_{2n} = [0, 1 + \frac{1}{2n}]$，当 $n \to \infty$ 时，$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{2n}) = 1$。
  • 当 $n$ 足够大时，$\bigcap_{k=n}^\infty A_k$ 是所有从第 $n$ 项开始的集合的交集。由于奇数项集合的右边界趋近于 $2$，偶数项集合的右边界趋近于 $1$，所以它们的交集的右边界为 $1$，即 $\bigcap_{k=n}^\infty A_k = [0, 1]$。
  • 那么 $\liminf_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k=n}^\infty A_k = [0, 1]$。

计算 $\limsup_{n \to \infty} A_n$

根据上极限的定义，$\limsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty A_k$。

  • 对于奇数项 $A_{2n + 1} = [0, 2 - \frac{1}{2n + 1}]$，当 $n \to \infty$ 时，$\lim_{n \to \infty} (2 - \frac{1}{2n + 1}) = 2$，所以 $\bigcup_{n = 0}^{\infty} A_{2n + 1} = [0, 2)$。
  • 对于偶数项 $A_{2n} = [0, 1 + \frac{1}{2n}]$，当 $n \to \infty$ 时，$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{2n}) = 1$，所以 $\bigcup_{n = 1}^{\infty} A_{2n} = [0, 1]$。
  • 当 $n$ 足够大时，$\bigcup_{k=n}^\infty A_k$ 是所有从第 $n$ 项开始的集合的并集。由于奇数项集合的并集趋近于 $[0, 2)$，偶数项集合的并集趋近于 $[0, 1]$，所以它们的并集为 $[0, 2)$，即 $\bigcup_{k=n}^\infty A_k = [0, 2)$。
  • 那么 $\limsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty A_k = [0, 2)$。