题目
曲线=dfrac (2{x)^2-x-1}({x)^2-1}(e)^dfrac (1{x)}的渐近线的条数有( )A) 1 B) 2C) 3D) 4
曲线
的渐近线的条数有( )
A) 1 B) 2
C) 3
D) 4
题目解答
答案
求水平渐近线。
当
时，
。所以
是水平渐近线。
接下来求垂直渐近线。
函数的分母为
，所以
和
可能是垂直渐近线。当
时，
，所以不是垂直渐近线。当
时，
的分母趋于 0 ，分子不为 0 ，所以是垂直渐近线。
综上，该曲线有 2 条渐近线，分别是和，选择 B) 选项。
解析
步骤 1：求水平渐近线
当$x\rightarrow \infty$时，$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2{x}^{2}-x-1}{{x}^{2}-1}{e}^{\dfrac {1}{x}}=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2-\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{{x}^{2}}}{1-\dfrac {1}{{x}^{2}}}{e}^{\dfrac {1}{x}}=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2-\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{{x}^{2}}}{1-\dfrac {1}{{x}^{2}}}\cdot 1=2$。所以$y=2$是水平渐近线。
步骤 2：求垂直渐近线
函数$y=\dfrac {2{x}^{2}-x-1}{{x}^{2}-1}{e}^{\dfrac {1}{x}}$的分母为${x}^{2}-1=(x+1)(x-1)$，所以$x=1$和$x=-1$可能是垂直渐近线。
当$x\rightarrow 1$时，$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {2{x}^{2}-x-1}{{x}^{2}-1}{e}^{\dfrac {1}{x}}=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {(2x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}{e}^{\dfrac {1}{x}}=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {2x+1}{x+1}{e}^{\dfrac {1}{x}}=\dfrac {3}{2}e$，所以$x=1$不是垂直渐近线。
当$x\rightarrow -1$时，$\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {2{x}^{2}-x-1}{{x}^{2}-1}{e}^{\dfrac {1}{x}}$的分母趋于0，分子不为0，所以$x=-1$是垂直渐近线。
步骤 3：总结
综上，该曲线有2条渐近线，分别是$y=2$和$x=-1$。
当$x\rightarrow \infty$时，$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2{x}^{2}-x-1}{{x}^{2}-1}{e}^{\dfrac {1}{x}}=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2-\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{{x}^{2}}}{1-\dfrac {1}{{x}^{2}}}{e}^{\dfrac {1}{x}}=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2-\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{{x}^{2}}}{1-\dfrac {1}{{x}^{2}}}\cdot 1=2$。所以$y=2$是水平渐近线。
步骤 2：求垂直渐近线
函数$y=\dfrac {2{x}^{2}-x-1}{{x}^{2}-1}{e}^{\dfrac {1}{x}}$的分母为${x}^{2}-1=(x+1)(x-1)$，所以$x=1$和$x=-1$可能是垂直渐近线。
当$x\rightarrow 1$时，$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {2{x}^{2}-x-1}{{x}^{2}-1}{e}^{\dfrac {1}{x}}=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {(2x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}{e}^{\dfrac {1}{x}}=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {2x+1}{x+1}{e}^{\dfrac {1}{x}}=\dfrac {3}{2}e$，所以$x=1$不是垂直渐近线。
当$x\rightarrow -1$时，$\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {2{x}^{2}-x-1}{{x}^{2}-1}{e}^{\dfrac {1}{x}}$的分母趋于0，分子不为0，所以$x=-1$是垂直渐近线。
步骤 3：总结
综上，该曲线有2条渐近线，分别是$y=2$和$x=-1$。